文档介绍：三. 向量组的秩
向量组的一个基本性质
极大线性无关组
向量组的秩
向量空间的基和维数
1. 向量组的一个基本性质
定理:
设
与是两个向量组,如果
(2)
则向量组必线性相关。
推论1:
如果向量组可以由向量组
线性表示,并且
线性无关,那么
推论2:两个线性无关的等价的向量组,必包含相同个数的向量。
(1) 向量组
线性表示;
可以由向量组
1
2. 极大线性无关组
定义1:
注:
(1)只含零向量的向量组没有极大无关组.
简称极大无关组。
对向量组A,如果在A中有r个向量
满足:
(2)任意r+1个向量都线性相关。(如果有的话)
线性无关。
(1)
那么称部分组为向量组的一个极大线性无关组。
(2)一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。
(3)一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性
表示
2
例如:在向量组中,
首先
线性无关,
又
线性相关,
所以
组成的部分组是极大无关组。
还可以验证
也是一个极大无关组。
注:一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。
3
极大无关组的一个基本性质:
任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。
又,向量组的极大无关组不唯一,而每一个极大无关组都
与向量组等价,所以:
向量组的任意两个极大无关组都是等价的。
由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量,可得
一个向量组的任意两个极大无关组等价,
且所含向量的个数相同。
定理:
4
3. 向量组的秩
定义2:向量组的极大无关组所含向量的个数
称为这个向量组的秩, 记作
例如: 向量组的
秩为2。
5
(4)等价的向量组必有相同的秩。
关于向量组的秩的结论:
(1)零向量组的秩为0。
(2)向量组
线性