文档介绍：二. 线性相关性
三. 向量组的秩
一. n维向量空间
四. 矩阵的秩
第三章向量空间
五. 内积与正交化
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一. n维向量空间
分量全为复数的向量称为复向量.
分量全为实数的向量称为实向量,
1. n 维向量
定义:n 个有次序的数
所组成的有序数组
称为一个n 维向量。
这 n 个数称为该向量的 n 个分量,第个数
称为第个分量。
以后我们用小写希腊字母来代表向量。
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例如:
n维实向量
n维复向量
第1个分量
第n个分量
第2个分量
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向量通常写成一行:
有时也写成一列:
称为行向量。
称为列向量。
它们的区别
只是写法上
的不同。
分量全为零的向量称为零向量。
2. 向量的运算和性质
向量相等:如果 n 维向量
的对应分量都相等,即
就称这两个向量相等,记为
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向量加法:向量
称为向量
的和,记为
负向量:向量
称为向量的负向量
向量减法:
数乘向量:设k为数域p中的数,向量
称为向量
与数k的数量乘积。记为
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满足运算律:
注:
(1)对任意的向量
存在唯一的零向量
使得
(2)对任意的向量
存在唯一的负向量
使得
(4)如果
则
(3)
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3. n 维向量空间
说明:
定义: 设为维向量的集合,如果集合非空,
且集合对于加法及数乘两种运算封闭,
那么就称集合为向量空间.
集合对于加法及数乘两种运算封闭指
例1:3维向量的全体是一个向量空间。
n维向量的全体,也是一个向量空间。
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例2: 判别下列集合是否为向量空间.
解:
所以, 是向量空间。
(2) 不是向量空间。
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是否为向量空间.
(这个向量空间成为由向量a,b生成的向量空间)
一般地,由向量组所生成的向量空间为
例3:设 a,b为两个已知的n维向量,判断集合
解:
所以V是一个向量空间。
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1. 线性组合与线性表示
二. 线性相关性

、无关

定义1:给定向量组
对于任何一组实数
向量
称为向量组A的一个
线性组合,
称为这个线性组合的系数。
定义2:给定向量组
和向量
如果存在一组实数
使得
则称向量是向量组A的线性组合,
或称向量能由向量组A线性表示。
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