文档介绍：1. 矩阵的初等变换
线性方程组的一般形式
什么是初等变换?
五. 矩阵的初等变换与初等矩阵

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用矩阵形式表示此线性方程组:
令
则,线性方程组可表示为
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如何解线性方程组?
可以用消元法求解。
始终把方程组看作一个整体变形,用到如下三种变换:
(1)交换方程次序;
(2)以不等于0的数乘某个方程;
(3)一个方程加上另一个方程的k倍.
由于三种变换都是可逆的,.
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若记
则对方程组的变换完全可以转换为
对矩阵B(方程组的增广矩阵)的变换.
因为在上述变换过程中,仅仅只对方程组的系数和常数进行运算,未知量并未参与运算.
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即,求解线性方程组实质上是对增广矩阵施行
3种初等运算:
(1) 对调矩阵的两行。
(2) 用非零常数k乘矩阵的某一行的所有元素。
将矩阵的某一行所有元素乘以非零常数k后
加到另一行对应元素上。
统称为矩阵的
初等行变换
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定义1:
下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
同理可定义矩阵的初等列变换(把“r”换成“c”).
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矩阵的初等变换
通常称(1) 对换变换(2) 倍乘变换(3) 倍加变换
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同.
逆变换
逆变换
逆变换
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等价关系的性质:
具有上述三条性质的关系称为等价.
例如,两个线性方程组同解,
就称这两个线性方程组等价
定义2:
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定义3:由单位矩阵经过一次初等变换得到的方
阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵.
矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算,应用广泛.
2. 初等矩阵
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(1) 对调两行或两列,得初等对换矩阵。
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