文档介绍：第五章矩阵的对角化问题
一. 方阵的特征值与特征向量
二. 相似矩阵及其性质
三. 矩阵可对角化的条件
四. 实对称矩阵的对角化
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一. 方阵的特征值与特征向量
1. 特征值与特征向量的定义
定义1:
注:
设是阶方阵,
若数和维非零列向量,使得
成立,则称
是方阵的一个特征值,
为方阵的对应于特征值的一个特征向量。
是方阵

(2)特征向量是非零列向量
(4)一个特征向量只能属于一个特征值
(3)方阵的与特征值对应的特征向量不唯一
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2. 特征值与特征向量的求法
或
已知
所以齐次线性方程组有非零解
或
定义2:
数
是关于的一个多项式,称为矩阵的特征多项式。
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称为矩阵的特征方程。
求特征值、特征向量:
求出即为特征值;
把得到的特征值代入上式,
求齐次线性方程组
的非零解
即为所求特征向量。
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解:
第一步:写出矩阵A的特征方程,求出特征值.
例1: 求矩阵
的特征值和全部特征向量.
特征值为
第二步:对每个特征值
代入齐次线性方程组
求非零解。
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齐次线性方程组为
当时,
系数矩阵
自由未知量:
令得基础解系:
常数)是对应于
的全部特征向量。
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齐次线性方程组为
当时,
得基础解系
常数)是对应于
的全部特征向量。
书P130. 例4. 例5
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3. 特征值和特征向量的性质
性质1:
若的特征值是, 是的对应于的特征向量,则
的特征值是
是任意常数)
的特征值是
是正整数)
若可逆,则的特征值是
的特征值是
且仍然是矩阵
分别对应于的特征向量。
为x的多项式,则的特征值为
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性质2:
矩阵和的特征值相同。
定理2:设阶方阵的个特征值为
则
称为矩阵A的迹。(主对角元素之和)
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例2 :
例3:设
解: (1)
设为矩阵的特征值,求的特征值;
若可逆,求的特征值。
求: (1) 的特征值和特征向量。
(2)求可逆矩阵,使得为对角阵。
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