课件5 函数项级数的一致收敛性.pdf

文档介绍：第十章函数项级数
§1 函数项级数的一致收敛性
点态收敛

设 un (x)(n = 1,2,3,…)是具有公共定义域 E 的一列函数,这无
穷个函数的“和”
1 + 2 +" + n xuxuxu )()()( +"
∞
称为函数项级数,记为。
∑ n xu )(
n=1
定义 设 un (x) (n = 1,2,3,…)在 E 上定义。对于任意固
∞∞
定的,若数项级数收敛,则称函数项级数在点
x0 ∈E ∑ n xu 0 )( ∑ n xu )( x0
n=1 n=1
∞
收敛,或称是的收敛点。
x0 ∑ n xu )(
n=1
∞
函数项级数的收敛点全体所构成的集合称为函数项级数
∑ n xu )(
n=1
∞
的收敛域。
∑ n xu )(
n=1
∞∞
设的收敛域为,则就定义了集合上的一个
∑ n xu )( D⊂ E ∑ n xu )( D
n=1 n=1
函数
∞
, 。
S(x) =∑ n xu )( x∈D
n=1
∞
称为的和函数。由于这是通过逐点定义的方式得到的,
S(x) ∑ n xu )(
n=1
∞
因此称在上点态收敛于。
∑ n xu )( D S(x)
n=1
例 利用我们目前所掌握的知识(如级数收敛的 Cauchy
判别法,D'Alembert 判别法等)和定义 ,可知下述结论:
∞ x
∑ x n 的收敛域是−)1,1( ,和函数为 S(x) = ;
n=1 1− x
例 利用我们目前所掌握的知识(如级数收敛的 Cauchy
判别法,D'Alembert 判别法等)和定义 ,可知下述结论:
∞ x
∑ x n 的收敛域是−)1,1( ,和函数为 S(x) = ;
n=1 1− x
∞ x n
∑的收敛域为−)1,1[ ;
n=1 n
∞ x n
的收敛域−]1,1[ ;
∑ 2
n=1 n
例 利用我们目前所掌握的知识(如级数收敛的 Cauchy
判别法,D'Alembert 判别法等)和定义 ,可知下述结论:
∞ x
∑ x n 的收敛域是−)1,1( ,和函数为 S(x) = ;
n=1 1− x
∞ x n
∑的收敛域为−)1,1[ ;
n=1 n
∞ x n
的收敛域−]1,1[ ;
∑ 2
n=1 n
∞ x n
∑的收敛域为R = −∞+∞),( ;
n=1 n!
∞
∑)!( xn n 的收敛域为单点集{0};
n=1
∞ 1
e −nx 的收敛域为+∞),0( ,和函数为。
∑ S(x) = x
n=1 −1e
∞
给定一个函数项级数,可以作出它的部分和函数
∑ n xu )(
n=1
n
, ;
Sn(x) = ∑ k xu )( x∈E
k =1
显然,使{Sn(x)}收敛的 x 全体正是级数的收敛域 D 。因此在 D 上,
∞
的和函数就是其部分和函数序列的极限,即有
∑ n xu )( S(x) {Sn(x)}
n=1
n
S(x) = lim Sn(x)= lim k xu )( , x∈D。
n ∞→ n ∞→∑
k =1
反过来,若给定一个函数序列{Sn(x)} ( x∈E ),只要令
u1(x) = S1(x),
un + 1(x) = Sn+ 1(x) - Sn(x) (n = 1,2,…),
∞
就可得到相应的函数项级数,它的部分和函数序列就是
∑ n xu )(
n=1
{S n(x)}。
反过来,若给定一个函数序列{Sn(x)} ( x∈E ),只要令
u1(x) = S1(x),
un + 1(x) = Sn+ 1(x) - Sn(x) (n = 1,2,…),
∞
就可得到相应的函数项级数,它的部分和函数序列就是
∑ n xu )(
n=1
{S n(x)}。
∞
所以,函数项级数与函数序列的收敛性在本质上完
∑ n xu )( {Sn(x)}
n=1
全是一回事。为方便起见,下面将经常通过讨论函数序列来研究函数
项级数的性质。
函数项级数(或函数序列)的基本问题

设有限个函数 u1 (x),u2(x),…,un (x)在 D 上定义且具有某种分
析性质,如连续性、可导