文档介绍：章节题目
第三节二重积分的应用
内容提要
曲面的面积
平面薄片的重心、转动惯量、对质点的引力
重点分析
曲面面积及重心坐标
难点分析
利用元素法解决重积分在几何和物理上的应用问题
习题布置
1、3、4(3)、8
备注
教学内容
一、问题的提出
把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.
若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时,所求量U相应地分成许多部分量,且U等于部分量之和),并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 d时,相应地部分量可近似地表示为f(x,y)d的形式,其中(x,y) f(x,y)d称为所求量U的元素,记为 dU,所求量的积分表达式为
二、曲面的面积
实例一颗地球的同步轨道通讯卫星的轨道位于地球的赤道平面内,,,问卫星距地面的高度应为多少?
通讯卫星的覆盖面积是多大?
卫星
:
如图

曲面S的面积元素
曲面面积公式为:
同理可得
:
曲面面积公式为:
:
曲面面积公式为:
例1 求球面,含在圆柱面内部的那部分面积.
解由对称性知, :
曲面方程,
于是
面积
例2 求由曲面和所围立体的表面积.
解解方程组
得两曲面的交线为圆周
在 xy 平面上的投影域为

三、平面薄片的重心(x,y)
设平面上有个质点,它们分别位于,,处,质量分别为
.则该质点系的重心的坐标为
, .
设有一平面薄片,占有面上的闭区域,在点处的面密度为,假定在上连续,平面薄片的重心由元素法

当薄片是均匀的,重心称为形心.
例3 设平面薄板由,与轴围成,它的面密度,求形心坐标.
解先求区域D的面积A,
,
由于区域关于直线对称,所以形心在上,即,

所求形心坐标为.
四、平面薄片的转动惯量
设平面上有个质点,它们分别位于,,处,
, .
设有一平面薄片,占有面上的闭区域,在点处的面密度为,假定在上连续,平面薄片对于轴和轴的转动惯量为
薄片对于 x 轴的转动惯量
薄片对于 y 轴的转动惯量
例4 设一均匀的直角三角形薄板,两直角边长