文档介绍：概率论与数理统计第5讲
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第三章多维随机变量及其分布
§1 二维随机变量
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在实际问题中, 对于某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描. 例如, 为了研究某一地区学龄前儿童的发育情况, 对这一地区的儿童进行抽查, 对于每个儿童都能观察到他的身高H和体重W. 在这里, 样本空间S={e}={某地区的全部学龄前儿童, 而H(e), 和W(e)是定义在S上的两个随机变量. 又如炮弹弹着点的位置需要由它的横坐标和纵坐标来确定, 而横坐标和纵坐标是定义在同一个样本空间的两个随机变量.
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一般, 设E是一个随机试验, 它的样本空间是S={e}, 设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量, 由它们构成的一个向量(X,Y), 叫做二维随机向量或二维随机变量.
S
e
X(e)
Y(e)
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定义设(X,Y)是二维随机变量, 对于任意实数x,y, 二元函数:
称为二维随机变量(X,Y)的分布函数, 或称为随机变量X和Y的联合分布函数.
(x,y)
x
y
O
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易知, 随机点(X,Y)落在矩形域[x1<Xx2, y1<Yy2]的概率为P{x1<Xx2, y1<Yy2} =F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2). ()
x
y
y1
y2
x1
x2
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分布函数F(x,y)具有的基本性质:1, F(x,y)是变量x和y的不减函数, 即对于任意固定的y, 当x2>x1时F(x2,y)F(x1,y); 对于任意固定的x, 当y2>y1时F(x,y2)F(x,y1).2, 0F(x,y)1, 且对于任意固定的y, F(-,y)=0, 对于任意固定的x, F(x,-)=0,F(-,-)=0, F(+, +)=1.3, F(x,y)关于x和关于y都右连续.4, 任给(x1,y1),(x2,y2), x1<x2, y1<y2,F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2)0
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如果二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不相同的值是有限对或可列无限多对, 则称(X,Y)是离散型的随机变量.设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的值为(xi,yj), i,j=1,2,...,记P{X=xi, Y=yj}=pij, i,j=1,2,..., 则由概率的定义有
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称P{X=xi, Y=yj}=pij, i,j=1,2,...,为二维离散型随机变量X和Y的分布律, 或随机变量X和Y的联合分布律.也可用表格表示X和Y的联合分布律:
Y X
x1
x2
...
xi
...
y1
p11
p21
...
pi1
...
y2
p12
p22
...
pi2
...

...
...
...
...
...
yj
p1j
p2j
...
pij
...
...
...
...
...
...
...
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例1 设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取一个值, 另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值. 试求(X,Y)的分布律.解由乘法公式容易求得(X,Y)的分布律, 易知{X=i,Y=j}的取值情况是: i=1,2,3,4, j取不大于i的正整数, 且
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