文档介绍：第七章多元函数的微积分
,就是一个变量依赖于多个变量的问题,
微分学是一元函数微分学的推广和发展,本章将介绍空间解析几何的一些基本知识、多元函
数微分法及其应用、二重积分的概念、计算、应用.
§ 空间解析几何简介
一、空间直角坐标系
为了确定空间任意一点的位置,需要建立空间直角坐标系.
过空间一定点o ,作三条互相垂直的数轴,它们都以o 为原点,
x 轴(横轴)、y
轴(纵轴)、 z 轴(竖轴), x 轴和y 轴配置在
图7-1
水平面上, z 轴则是铅直线;这样的配置要符合右手定则,即以右
π
手握住 z 轴,当右手的四个手指从 x 轴正向以的角度转向 y 轴正
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向时,大姆指的指向就是 z 轴的正向(图 7-1).这样的三条坐标轴就
组成一个空间直角坐标系,点o 称为坐标原点.
空间直角坐标系中任意两条坐标轴都可以确定一个平面,称为坐
标平面,由 x 轴和y 轴所确定的平面称为 xoy 平面;由 y 轴和z 轴所
确定的平面称为 yoz 平面;由z 轴和 x 轴所确定的平面称为 zox 平图7-2
,依次称为、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限(图
7-2),坐标平面不属于任何卦限.
取定了空间直角坐标系后,就可以建立起空间的点与有序实数
组(,x yz,)之间的对应关系.
设 M 为空间中的一点,过点 M 分别作一个垂直于 x 轴、y
轴和 z 轴的平面,它们与坐标轴的交点 P 、Q 、 R 对应的三个实数图7-3
依次为 x 、y 、z (图 7-3),于是点 M 唯一地确定了一个有序实数组(,x yz ,).反之,如果给
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定了一个有序实数组(,x yz ,),我们依次在 x 轴、y 轴、z 轴上取与 x 、y 、z 相应的点P 、Q 、
R ,然后过P 、Q 、R 分别作垂直于 x 轴、y 轴和z 的三个平面,这三个平面交于空间一点 M .因
此,有序实数组(,x yz,)与空间的一点 M x 、 y 、z 为点 M 的横坐标、纵
(,x yz ,)的点 M ,记为 M (,xyz ,).
显然,原点的坐标为O(0,0,0); x 轴、 y 轴和 z 轴上
的点的坐标分别为(,0,0)x 、(0,y ,0) 、(0,0,z ) ;xoy 、yoz 、
zox 三个坐标面上的点的坐标分别为(,x y,0)、(0,yz , ) 、
(,0,)x z .
二、空间两点间的距离
图7-4
M11(,xy11,)z、M 2222(,xyz ,)是空间两点,过 M1 、M 2
分别作平行于各坐标平面的平面,组成一个长方体,它的棱与坐标轴平行(见图 7-4).
由图 7-4 可知
22222 2222
M 11MMSSMMNNSSMxxyyzz22=+=1 ++=−+−+−2()21(21)()21
于是得空间任意两点间距离公式
222
dxxyyzz=−+−+−()()(21 21 21) (7-1)
例1 在z 轴上求与两点A(1,2,3)−和 B(2,6,− 2)等距离的点
解由于所求的点 p 在 z 轴上,设该点的坐标为(0,0,z ) ,依题意有 PA= PB ,由两点
间的距离公式,得
(0++−+−= 1)222 (0 2) (zz 3) (0 −+−++ 2) 22 (0 6) ( 2)2,
解之,得 z =-3
所以,所求的点为P(0,0,3) .
三、曲面及其方程
在实践中常常会遇到各种曲面,例如,汽车车灯的镜面,圆柱
. 图7-5
像在平面解析几何中把平面曲线当作动点的轨迹一样,在空间解析几何中,把曲面 S 当
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作动 M 按照一定的规律(或条件) M 可以用坐标(,x yz ,)来表示,
所以 M 所满足的规律(或条件)通常可用含有三个变量 x 、 y 、z 的方程 Fxyz(, ,)= 0来表示.
定义 如果曲面S 上任一点的坐标都满足 Fxyz(, ,)= 0,而不在曲面S 上的点的坐标
都不满足方程 Fxyz(, ,)= 0,则方程 Fxyz(, ,)= 0称为曲面 S 的方程,曲面 S 称为方程
F