文档介绍：课题: 定积分的几何应用

目的要求:
掌握定积分的微分元素法
掌握利用定积分求平面图形面积的方法
掌握利用定积分求体积的方法
掌握利用定积分求弧长的方法
教学重点:
利用定积分求面积和体积的方法
教学难点:
利用定积分求面积和体积的方法
教学课时:4
教学方法:讲练结合
教学内容与步骤:
定积分解题的条件:
(1) 所求量(设为 F)与一个给定区间[a,b]有关,且在该区间上具有可加性. 就是说,F是确定于[a,b]上的整体量,当把[a,b]分成许多小区间时,整体量等于各部分量之和,即.
(2) 所求量 F在区间[a,b]上的分布是不均匀的,也就是说, F的值与区间[a,b]的长不成正比.(否则的话, F使用初等方法即可求得,而勿需用积分方法了)
用定积分概念解决实际问题的四个步骤:
第一步:将所求量 F分为部分量之和,即: ;
第二步:求出每个部分量的近似值,
≈
第三步:写出整体量 F的近似值,≈;
第四步:取时的极限,则得
.
观察上述四步我们发现,第二步最关键,因为最后的被积表达式的形式就是在这一步被确定的,这只要把近似式中的变量记号改变一下即可( 换为x;换为 dx).
而第三、第四两步可以合并成一步:在区间[a,b]上无限累加,即在[a,b]上积分. 至于第一步,它只是指明所求量具有可加性,这是 F能用定积分计算的前提,于是,上述四步简化后形成实用的微元法.
定积分应用的微元法:
(一) 在区间[a,b]上任取一个微小区间,然后写出在这个小区间上的部分量的近似值,记为(称为 F的微元);
(二) 将微元dF在[a,b]上积分(无限累加),即得:
微元法中微元的两点说明:
(1) 作为的近似值表达式,应该足够准确,确切的说,就是要求其差是关于的高阶无穷小. ,称作微元的量,实际上是所求量的微分 dF;
(2) 具体怎样求微元呢? 这是问题的关键,这要分析问题的实际意义及数量关系,一般按着在局部上,以“常代变”、“匀代不匀”、“直代曲”的思路(局部线性化),写出局部上所求量的近似值,即为微元.
用定积分求平面图形的面积
1. 直角坐标系下的面积计算
用微元法不难将下列图形面积表示为定积分.
(1) 曲线及 OX轴所围图形,如下页左图,面积微元,面积.
(2) 由上、下两条曲线及所围成的图形,如下页右图,面积微元,面积.
(3)由左右两条曲线及所围成图形(图见下
左)面积微元(注意,这时就应取横条矩形 dA,即取 y为积分变量),面积.
例求两条抛物线所围成的图形的面积.
解(1)画出图形简图(如右上图)并求出曲线交点以确定积分区间:
解方程组得交点(0,0)及(1,1).
(2) 选择积分变量,写出面积微元,本题取竖条或横条作 dA均可,习惯上取竖条,即取 x为积分变量,x变化范围为[0,1],于是
(3)将A表示成定积分,并计算:
练习求及所围成图形面积.
解作图(如下图)
求出交点坐标为. 观察图得知,宜取 y为积分变量, y 变化范围为[–2,4](考虑一下,若取 x为积分变量,即竖条切割,有什么不方便之处),于是得:
A=
极坐标下的面积计算
曲边扇形:是指由曲线及两条射线所围成