第三章 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性.doc

文档介绍：第三章第四节函数的单调性与曲线的凹凸性
第四节
一、函数单调性的判定法
二、曲线的凹凸与拐点
函数的单调性与
曲线的凹凸性
第三章
一、函数单调性的判定法
若
定理 11>. 设函数
则在 I 内单调递增
(递减) .
证: 无妨设
任取
由拉格朗日中值定理得
故
这说明在 I 内单调递增.
在开区间 I 内可导,
证毕
例1. 确定函数
的单调区间.
解:
令
得
故
的单调增区间为
的单调减区间为
说明:
单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.
例如,
2) 如果函数在某驻点两边导数同号,
则不改变函数的单调性.
例如,
例2. 证明
时, 成立不等式
证: 令
从而
因此
且
证
证明
* 证明
令
则
从而
即
二、曲线的凹凸与拐点
定义. 设函数
在区间 I 上连续,
(1) 若恒有
则称
图形是凹的;
(2) 若恒有
则称
图形是凸的.
连续曲线上有切线的凹凸分界点
称为拐点.
拐点
定理2.(凹凸判定法)
(1) 在 I 内
则 f (x) 在 I 内图形是凹的;
(2) 在 I 内
则 f (x) 在 I 内图形是凸的.
证:
利用一阶泰勒公式可得
两式相加
说明(1) 成立;
(2)
设函数
在区间I 上有二阶导数
证毕
例3. 判断曲线
的凹凸性.
解:
故曲线
在
上是向上凹的.
说明:
1) 若在某点二阶导数为 0 ,
2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:
若曲线
或不存在,
但
在两侧异号,
则点
是曲线
的一个拐点.
则曲线的凹凸性不变.
在其两侧二阶导数不变号,
例4. 求曲线
的拐点.
解:
不存在
因此点( 0 , 0 ) 为曲线
的拐点.
凹
凸
例5. 求曲线
对应
的凹凸区间及拐点.
解: 1) 求
2) 求拐点可疑点坐标
令
得
3) 列表判别
故该曲线在
及
上向上凹,
向上凸,
点( 0 , 1 ) 及
均为拐点.
凹
凹
凸
内容小结
1. 可导函数单调性