用一阶导数的单调性来判断曲线的凹凸性.ppt.ppt

文档介绍：用一阶导数的单调性来判断曲线的凹凸性
华阳南湖 18MAR12
一般高等数学教材都是二阶导数的符号来判断曲线的凹凸性。
但是,我们也可以用一阶导数的单调性来判断曲线的凹凸性,这种方法有很直观的几何解释,其证明也更简单。
凹弧的定义:
凸弧的定义:
如何判断曲线的凹凸?
设曲线弧上凹
单增
Concave upward
下凸
设曲线弧上凸
单减
Concave downward
下凹
反之,能否由一阶导数的单调性或二阶导数的符号来判断曲线的凹凸?
答案是肯定的。先证明一个引理。
引理(利用一阶导数的单调性判断凹凸性)
设函数 f(x) 在[a, b] 上连续,在(a, b) 内可导,那么
若在(a, b) 内 f ’(x) 单调增加,
则曲线 y = f(x)在[a, b] 上是凹的。
(2) 若在(a, b) 内 f ’(x) 单调减少,
则曲线 y = f(x)在[a, b] 上是凸的。
设
欲证:
区间(x1, x2) 的中点
或
或
欲证:
由Lagrange中值定理
(1)
不等式(1)成立。
欲证:
(1)
不等式(1)成立。
同理可证