文档介绍：第四节
函数的单调性与曲线的凹凸性
函数的单调性
曲线的上升和下降
函数的凹凸性
曲线的弯曲方向
用一阶导数研究
用二阶导数研究
一、函数单调性的判定法
y
o
x
y=f (x)
若函数 y=f (x) 在[a, b]上单调增加,则它
的图形是一条沿x轴正向上升的曲线;
a
b
曲线上各点处切线的斜率是非负的,
即
若函数 y=f (x) 在[a, b]上单调减少,则它
的图形是一条沿x轴正向下降的曲线;
a
b
曲线上各点处切线的斜率是非正的,
即
反之, 若函数在某区间可导, 能否用导数的符号来判定函数的单调性呢?
答案是肯定的。
讨论:
设函数f (x)在[a, b]上连续,在(a, b)上可导,
在[a, b]上任取两点x1, x2 (不妨设x1<x2)
由Lagrange中值定理得:
若在(a, b)内导数始终
又
若(a, b)内
则
有
<
归纳以上讨论,得定理1:
设函数y=f (x)在[a, b]上连续,在(a, b)内可
导, 若在(a, b)内
, 则函数y=f (x)在
若在(a, b)内
, 则
例1. 判定函数y=x-sinx 在[0, 2π]上的单调性.
解:
在区间[0, 2π]上单调增加.
注:若可导函数y=f (x) 在区间内导数不恒大于0也不恒小于0,那我们就得将导数为0的点作为分界点,讨论其单调性.
[a, b]上单调增加;
函数y=f (x)在[a, b]上单调减少。
例2 讨论函数
的单调性.
解:函数的定义域为
先求定义域
再求导数为零的点
因为在
内
所以函数
在
上单调减少;
因为在
内
, 所以函数
在
上单调增加.
最后以导数为零的点为分界点按定理1讨论
另外注意,有的函数也可能在所讨论的区间内有导数不存在的点.
例3 讨论函数
的单调性.
解:此函数的定义域为
导数不存在.
先求定义域
再求导数为0和导数不存在的点作为分界点
x
y
在
内,
, 因此函数在
上单调减少;
在
内,
因此函数在
上单调增加;
不存在导数为0的点.
当x=0时,
讨论函数单调性的过程
求 f (x) 的定义区间,且在每个定义区间上连续;
在定义区间内求导数为0的点和导数不存在的点为分界点;
用分界点划分定义区间, f′的符号就能在各个部分区间保持固定. 研究各部分区间f′的单调性.
例4 确定函数的单调区间
解:定义域为
求导:
解方程:
两个根把
分成三部分:
在
在
在
1
2
x
y
例5. 讨论函数
的单调性.
解:先求定义域:
再求导数为0和导数不存在的点:
最后,在分界点讨论导数的符号:
除了点x=0, 其余各点均有
在区间
和
都是单调
单调增加的.
说明:一般地如果 f (x)在某区间内有限个点处为零在其余各点处均为正(或负)时则f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或减少)的
x
-1
1
y
增加的.
它在
内是
下面讨论:用函数的单调性证明不等式.
证明当
时有
方法:
证 f (x) 单调增加.
若 f (a)=0,
则有f (x)>f (a)=0.
令