文档介绍：生活中的优化问题举例
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题,通过前面的学习,知道,导数是求函数最大(小)值的有力工具,本节我们运用导数,解决一些生活中的优化问题。
问题1:海报版面尺寸的设计
例1 学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传,现让你设计一张如图所示竖向张贴的海报,要求版心面积128dm2,上下边各空2dm,左右空1dm,如何设计海报尺寸,才使四周空白面积最小?
解:设版心的高为xcm,则宽为
此时四周空白面积为:
求导数,有
解得,x=16 (x=-16舍去)
因此,x=16是函数s(x)的极小值点,也是最小值点。
所以,当版心高为16dm,宽为8dm时,能使四周空白面积最小。
答:当版心高为16dm,宽为8dm时,海报四周空白面积最小。
练习1、一条长为l的铁丝截成两段,分别
弯成两个正方形,要使两个正方形
的面积和最小,两段铁丝的长度分
别是多少?
则两个正方形面积和为
解:设两段铁丝的长度分别为x,l-x,
其中0<x<l
由问题的实际意义可知:
问题2:饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?
你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗?
是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?
,,,且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm.
(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?
(2)瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小?
解:
由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润为:
知识背景
令
解:
由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润为:
令
因此,当r>2时,f’(r)>0,它表示f(r)单调递增,即半径越大,利润越高;
当r<2时,f’(r)<0,它表示f(r)单调递减,即半径越大,利润越低。
(1)半径为2时,利润最小。这时f(2)<0,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,此时利润是负值;
(2)半径为6时,利润最大。