文档介绍：加试模拟训练题( 52) 1 .过等腰△ ABC 底边 BC 上一点 P引 PM ∥ CA 交 AB 于 M ;引 PN ∥ BA 交 AC 于 N. 作点 P 关于 MN 的对称点 P′.试证: P′点在△ ABC 外接圆上. 2. 设实数 x、y、z 满足条件 yz+zx+xy=-1 ,求 x 2 +5y 2 +8z 2 的最小值和最大值. 3. 桌面上放有 1989 枚硬币,其中有的正面朝上, 1989 人按下述方法依次翻 ABC P PM N ' 转硬币,第一人翻转其中的一枚,第二人翻转其中的二枚, …,第 k 人翻转其中的 k 枚,最后第 1989 : 1 .不论硬币最初正反面的分布情况如何,他们总可采取适当步骤,使得 1989 人都进行过翻币手续后,恰将所有硬币朝同一方向. 2 .硬币最后的统一朝向与具体翻币方案无关( 只依赖于初始分布). 4. 求所有正整数 m,n 满足 nm? 2 整除 2nm?,并且 mn? 2 整除. 2mn?加试模拟训练题( 52) 1 .过等腰△ ABC 底边 BC 上一点 P引 PM ∥ CA 交 AB 于M ;引 PN ∥ BA 交 AC 于N. 作点 P 关于 MN 的对称点 P′.试证: P′点在△ ABC 外接圆上. (杭州大学《中学数学竞赛习题》)ABC P PM N ' 分析:由已知可得 MP ′= MP = MB , NP ′= NP = NC ,故点 M是△P′ BP 的外心,点 N是△ P′ PC ∠ BP ′P=2 1 ∠ BMP =2 1 ∠ BAC , ∠ PP ′C=2 1 ∠ PNC =2 1 ∠ BAC . ∴∠ BP ′C=∠ BP ′P+∠P′ PC =∠ BAC . 从而, P′点与 A, B, C共圆、即 P′在△ ABC 外接圆上. 由于 P′ P平分∠ BP ′ C,显然还有 P′B:P′C= BP : PC . 2. 设实数 x、y、z 满足条件 yz+zx+xy=-1 ,求 x 2 +5y 2 +8z 2 的最小值和最大值. 【题说】 1992 年英国数学奥林匹克题 4. 【解】由于( y-2z ) 2+( x+2y 十 2z ) 2≥0 所以 x 2 +5y 2 +8z 2≥-4( xy+yz+zx ) =4 的最小值为 2 +5y 2 +8z 2>x 2 当y→0 时,函数 x 2 +5y 2 +8z 2 的值可趋于无穷大. 3. 桌面上放有 1989 枚硬币,其中有的正面朝上, 1989 人按下述方法依次翻转硬币,第一人翻转其中的一枚,第二人翻转其中的二枚, …,第 k 人翻转其中的 k 枚,最后第 1989 : 1 .不论硬币最初正反面的分布情况如何,他们总可采取适当步骤,使得 1989 人都进行过翻币手续后,恰将所有硬币朝同一方向. 2 .硬币最后的统一朝向与具体翻币方案无关( 只依赖于初始分布). 【题说】 1989 年南昌市赛二试题 3. 【证】 1. 1989 可换成任一奇数 n .对 n 用数学归纳法. 当n=1 时, n= 2k-1 时结论成立,当 n= 2k+1 时,分两种情况讨论. (1) 如果这 2k+1 枚