文档介绍：加试模拟训练题( 59) A 1A 2A 3A 4为⊙ O内接四边形, H 1,H 2,H 3,H 4依次为△ A 2A 3A 4,△ A 3A 4A 1,△ A 4A 1A 2,△ A 1A 2A 3 的垂心. 求证: H 1,H 2,H 3,H 4 四点共圆, 并确定出该圆的圆心位置. 、b、c 是正实数,并满足 abc=1 .证明: 并指明等号在什么条件下成立. . O A AA A 1234 H H 1 2 3. 设有两个完全相同的齿轮 A、B,B 被平放在一个水平面上, A 放在 B 上面并使两者完全重合( 从而两者在水平面上的投影完全重合) , 14 个齿,试问:能否将齿轮 A 绕两齿轮的公共轴旋转一个适当的位置,使得两齿轮在水平面上的投影合为一个完整齿轮的投影?如果两齿轮各原有 13 个齿,又是怎样呢?请证明你的论断. 4. 将与 105 互素的所有正整数从小到大排成数列,求出这个数列的第 2010 项。加试模拟训练题( 59) A 1A 2A 3A 4为⊙O内接四边形, H 1,H 2,H 3,H 4依次为△ A 2A 3A 4,△ A 3A 4A 1,△ A 4A 1A 2,△ A 1A 2A 3 的垂心. 求证: H 1,H 2,H 3,H 4 四点共圆, 并确定出该圆的圆心位置. (1992 ,全国高中联赛) 分析:连接 A 2H 1,A 1H 2,H 1H 2,记圆半径为 △ A 2A 3A 4知 132 12 sin HAA HA?=2R? A 2H 1=2R cos ∠A 3A 2A 4; 由△A 1A 3A 4得 A 1H 2=2R cos ∠A 3A 1A ∠ A 3A 2A 4=∠ A 3A 1A 4,故 A 2H 1= A 1H 2. 易证 A 2H 1∥ A 1A 2,于是, A 2H 1A 1H 2, 故得 H 1H 2A 2A 1A 1与H 2A 2的交点为 M,故 H 1H 2与A 1A 2关于 M点成中心对称. 同理, H 2H 3与A 2A 3,H 3H 4与A 3A 4,H 4H 1与A 4A 1 都关于 M 点成中心对称. 故四边形 H 1H 2H 3H 4 与四边形 A 1A 2A 3A 4 关于 M 点成中心对称,两者是全等四边形, H 1,H 2, H 3,H 4 在同一个圆上. 后者的圆心设为 Q,Q与O 也关于 M ,M两点, Q点就不难确定了. 、b、c 是正实数,并满足 abc=1 .证明: 并指明等号在什么条件下成立. 【题说】第三十七届( 1996 年) IMO 预选题. 【证】由 a 5 +b 5 -a 2b 2( a+b )=(a 2 -b 2 )( a 3 -b 3)≥0 得a 5 +b 5≥a 2b 2( a+b )(1)(2) . O A AA A 1234 H H 1 2∥=∥= 当且仅当 a=b=c=1 时,以上各式中等号均成立. 3. 设有两个完全相同的齿轮 A、B,B 被平放在一个水平面上, A 放在 B 上面并使两者完全重合( 从而两者在水平面上的投影完全重合) , 14 个齿,试问:能否将齿轮 A 绕两齿轮的公共