文档介绍：加试模拟训练题( 34) 1、双心四边形是指既有内切圆又有外接圆的四边形,证明对这样的四边形,两个圆心与对角线交点共线. 2、已知??Rcba,, ,且1? abc ,求证:??????b aca cbc ba)(2cba?? 3、有 17 位科学家,其中每一人和其他所有人通信,他们通信中只讨论三个题目,:至少有三个科学家相互之间讨论同一个题目. 4 .求不定方程 12 (x +y )(y +z )(z +x )+( x +y +z ) 3 =1 - xyz 的所有整数解。加试模拟训练题( 34) 1、双心四边形是指既有内切圆又有外接圆的四边形,证明对这样的四边形,两个圆心与对角线交点共线. 【题说】第三十届( 1989 年) IMO 预选题 14 .本题由印度提供. 【证】设四边形 ABCD 为双心四边形,其外接圆圆心为 O ,内切圆圆心为 I ,对角线交点为 K ,不难推出下列三个引理: ( 1) 对圆外切四边形 ABCD ,设切点为 P、Q、R、S ,则 PR 、 QS 的交点就是对角线 AC , BD 的交点 K. ( 2)若K为⊙I 内一定点,则对 K 点张直角的弦 EF 的中点的轨迹是一个圆,圆心为 IK 的中点 M. ( 3)在( 1) 中若四边形 ABCD 有外接圆,则 PR ⊥ QS . 由( 3), PQ 、 QR 、 RS 、 SP 对K 点张直角,因而它们的中点 A'、B'、C'、D' 均在以 IK 的中点 M为圆心的圆上. 由于 IA与 PQ 相交于 A' ,所以 A' 就是以 I 为反演中心, ⊙ I 为反演圆时, A 经反演所得的像,同样 B'、 C'、 D' 分别为 B、 C、 D 的像,因此⊙ O 经过反演成为 A' B' C' D' 的外接圆,从而 O 与这圆的圆心 M ,反演中心 I 共线,所以 O 在直线 IM 上,即 O、 M、 K 共线,从而问题得证. 2、已知??Rcba,, ,且1? abc ,求证:??????b aca cbc ba)(2cba??分析与证明:为书写简便,首先令 333,,czbyax???; 则原不等式可化为:?????? 3 333 333 33y xzx zyz yx)(2 333zyx??结合条件 1? xyz 知只需证齐次不等式:?????? 3 333 333 33y xzx zyz yx xyz zyx)(2 333??. 因为 3 333 333 33y xzx zyz yx?????=3 111)( 333 333?????????????zyx zyx3 13)( 333????? xyz zyx3 )]()(2[ 1 333333???????zyxzyx xyz 3]3)(2[ 1 333????? xyz zyx xyz = xyz zyx)(2 333??.所以原不等式得证. 3、有 17 位科学家,其中每一人和其他所有人通信,他们通信中只讨论三个题目,:至少有三个科学家相互之间讨论同一个题目. 【题说】第六届(1964 年) 国际数学奥林匹克题 4 .本题由匈牙利提供. 【证】将科学家对应于点,两科学家之间讨论的题目对应两点连线的颜色,原题转化为: 17 个点两两连边,边用红、蓝