全国中学生数学竞赛二试模拟训练题(87).doc

文档介绍：加试模拟训练题( 87) 2. 已知整数列{ a 0,a 1,a 2,…}满足: (1 )a n+1 =3a n -3a n-1 +a n-2, n=2 ,3 ,…; (2 ) 2a 1 =a 0 +a 2 -2 ; (3 )对任意自然数 m ,在数列{ a 0,a 1,a 2,…}中必有相继的 m项a k, a k+1,…,a k+m-1 都是完全平方数. 求证:{ a 0,a 1,a 2,…)的所有项都是完全平方数. 一条直线上; 直线所作垂线的垂足在且由该点向四条的外接圆相交于一点, 交所构成的四个三角形求证:四条直线两两相 1 24 个面积为 S 的全等小矩形,把所有这些小矩形拼成一个与小矩形相似的大矩形,问小矩形的边长各是多少? 1 0,a??? 21 2 3 5 4 1, 2, n n n a a a n ?? ????,证明对于 na 不可能有某一正整数 N ,使 2Na 能被 1989 整除.( , 32) 加试模拟训练题( 87) 2. 已知整数列{ a 0, a 1,a 2,…} 满足: (1 )a n+1 =3a n -3a n-1 +a n-2, n=2 ,3 ,…; (2) 2a 1 =a 0 +a 2 -2; (3 )对任意自然数 m ,在数列{ a 0,a 1,a 2,…}中必有相继的 m项a k, a k+1,…,a k+m-1 都是完全平方数. 求证:{ a 0,a 1,a 2,…)的所有项都是完全平方数. 【题说】 1992 年中国数学奥林匹克题 6. 【证】令 d n =a n -a n-1 ,则由( 1 ) d n+1 -d n =d n -d n-1=…=d 2 -d 1 所以{ d n }是等差数列,从而由( 2 ), d 2 -d 1 =a 2 -2a 1 +a 0 =2 ,所以 a n =n 2 +bn +c,b、c∈Z 若b 为奇数 2t+1 ,则在 n 充分大时, 大于( n+t ) 2 ,小于( n+t+1 ) 2(=( n+t ) 2 +2n+2t+1 ),因而 a n 不是平方数. 而由( 3 ),{ a n }有任意大的平方数,矛盾!所以 b 为偶数 2t ,从而 a n= ( n+t ) 2 +c-t 2 在 c-t 2>0 时,对于充分大的 n ,a n 介于( n+t ) 2 与( n+t+1 ) 2 之间,与( 3 ) ; 直线所作垂线的垂足在且由该点向四条的外接圆相交于一点, 交所构成的四个三角形求证:四条直线两两相 1 在同一条直线上、、、故在一条直线上, 、、在一条直线上, 、、由西姆松定理可知, 、、、、所作垂线的垂足分别为、、、向若点交于同一点、圆、圆、圆圆也过点同理圆过点,即圆的另一个交点为与圆圆, 于点交, 于点交中, 、、、线证明:如图,设四条直 PNML PNM NML PNMLE DA CD BC AB G G AED ABF CDF BCE G AED G ABF A BGF CDA BEC CGF BGC BGF G CDF BCE F AD BC E CD AB AD CD BC AB ????????????????? 180 样 c-t 2<0 也导出矛盾(考虑连续平方数