全国中学生数学竞赛二试模拟训练题(11).doc

文档介绍：加试模拟训练题( 11) 1、已知圆内接五边形 ABCDE 满足 ABC ?的内切圆半径等于 AED ?的内切圆半径, ABD ?的内切圆半径等于 AEC ?的内切圆半径,证明 ABC ?≌ AED ?。 2、设),0(,,???cba ,且满足 1? abc ,试证: .2 3)( 1)( 1)( 1 333??????bacacbcba3 、在平面上有 n(≥3) 个点,设其中任意两点的距离的最大值为 d ,我们称距离为 d 的两点间的线段为该点集的直径,证明:直径的数目至多有 n条. 4 .若)12( 13??nn n 可以写成有限小数,那么自然数 n 的值是多少? 加试模拟训练题( 11) 1、已知圆内接五边形 ABCDE 满足 ABC ?的内切圆半径等于 AED ?的内切圆半径, ABD ?的内切圆半径等于 AEC ?的内切圆半径,证明 ABC ?≌ AED ?。证明:设, , , ABC AED ABD AEC ? ???的内切圆半径分别为 1 2 3 4 , , , r r r r ,外接圆半径为为 R ,不含其它顶点的弧????? , , , , AB BC CD DE EA 分别为 2 , 2 , 2 , 2 , 2 a b c d e , 则有???? 1 2 cos cos cos 1 1 cos cos cos r r a b a b e d e d R R ? ??????????, ???????? 34 cos cos cos 1 1 cos cos cos rr a b c e d e d c a b R R ? ????????????。两式相减得???? cos cos cos cos b d c d b c ? ????,从而有 cos cos 2 2 b c d d c b ? ? ???,舍去一种情况后可得 b d ?。代入第一个式子得???? cos cos cos cos a b e e a b ? ????,类似地可得 a e ?。因此有 ABC ?≌ AED ?。 2、设),0(,,???cba ,且满足 1? abc ,试证: .2 3)( 1)( 1)( 1 333??????bacacbcba 证明由?? ab ba2)( 22??(?为参数), 2 2bab a????则有),(2)( )( 2 2cba bc cba bc??????①),(2)( )( 2 2acb ca acb ca??????②).(2)( )( 2 2bac ab bac ab??????③①+②+③,得??)( )( 2cba bc??)( )( 2acb ca)(2)(2)( )( 2 2 ca bc ab ca bc ab bac ab?????????). )((2 2?????? ca bc ab ④因3)(3 3 2???? abc ca bc ab ,取2 1??,代入④中,得??)( )( 2cba bc??)( )( 2acb 34 132)( )( 2?????bac a