文档介绍：掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念,理解圆的参数方程
圆的方程
平面内到定点距离等于定长的点的(轨迹)叫圆.
圆心为(a,b),半径为r的圆的标准方程(standard equation of
circle)是=r2.
集合
(x-a)2+(y-b)2
当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程.
其中,半径是r= ,圆心坐标是.
(2,1)在圆C:x2+y2+ax-2y+b=0上,点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上,则实数a,b的值为( )
=-3,b=3 =0,b=-3
=-1,b=-1 =-2,b=1
解析:
(x+ )2 +(y-1)2=1+ -b,由题知圆心在直线x+y-1=0上,
∴- +1-1=0,∴a=0,又点(2,1)在圆上,所以b=-3.
答案:B
2. 圆(x+2)2+y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( )
A.(x-2)2+y2=5 +(y-2)2=5
C.(x+2)2+(y+2)2=5 +(y+2)2=5
答案:A
+y2=4,则x-y的最大值是________.
答案:2
-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),
则圆C的方程为________.
解析:∵AB的中垂线y=-3必过圆心,故解得圆心坐标为
C(2,-3),|CA|= ,∴所求圆C的方程为(x-2)2+(y+3)2=5.
答案: (x-2)2+(y+3)2=5
1. 可根据所给的三个条件,借助于图形,利用圆的几何性质,求出a、b、r;
:可将所给的三个条件设法代入方程(x-a)2+(y-b)2=r2,解关
于a、b、r构成的三元二次方程组.
【例1】求圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2)
的圆的方程.
解答:解法一:如图,设圆心(x0,-4x0),依题意得=1,
∴x0=1即圆心坐标(1,-4),半径r=2 ,故圆的方程(x-1)2+(y+4)2=8.
解法二:设所求方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2,根据已知条件得
因此所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.
:x2+y2-2x=0相外切,并且与直线l:x+ y=0
相切于点 P(3,- ),求圆C的方程.
解答:设圆C的圆心坐标和半径分别为(a,b)和r,则圆心在过P(3,- )
与l垂直的直线y+ = (x-3)
将①③代入②整理得=|2a-6|+1,解得a=0,或a=4.
当a=0时,b=-4 ,r=6;
当a=4时,b=0,r=2.
所求圆的方程为x2+(y+4 )2=36,或(x-4)2+y2=4.
1. 比较典型的问题是:已知圆上三点坐标求圆的方程,可利用圆的一般方程x2+
y2+Dx+Ey+F=0采用待定系数法,通过解三元一次方程组求出D、E、F.
:x2+y2+D1x+E1y+F1=O与O2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点
可通过解联立方程组求得,特殊地,两圆方程相减消去二次项得到的方程
(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0表示两圆公共弦所在直线的方程.
【例2】求过圆x2+y2+2x+4y-3=0与直线x+y+1=0的交点且圆心在直线
y= x上的圆的方程.
解答:如图,设所求圆的方程为(x2+2x+y2+4y-3)+λ(x+y+1)=0 ,
即x2+(2+λ)x+y2+(4+λ)y+λ-3=0,
∴圆心的坐标为,由已知得- ,
解得:λ=-6,因此所求圆的方程为x2+y2-4x-2y-9=0.