文档介绍：(了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法/了解分析法和综合法的思考过程、特点/了解间接证明的一种基本方法——反证法/了解反证法的思考过程、特点/了解数学归纳法的原理/能用数学归纳法证明一些简单的数学命题)
直接证明、间接证明与数学归纳法
.
、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立.
综合法简称为: .
:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.
分析法简称为: .
综合法
分析法
由因导果
执果索因
:假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,
因此说明,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫反证法.
应用反证法证明数学命题,一般有下面几个步骤:
第一步,分清命题“pq”的条件和.
第二步,作出与命题结论q相矛盾的假设綈q.
第三步,由p与綈q出发,应用正确的推理方法,推出矛盾结果.
第四步,断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q不真,于是原结论q成立,从而间接地证明了命题pq为真.
假设错误
结论
,通常叫做归纳法.
:先证明当n取第1个值n0时,命题成立;然后假设当n=k,(k∈N*,k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时,命题也成立,这种证明方法叫做.
,其步骤为:
(1)归纳奠基:证明当取第一个自然数n0时命题成立;
(2)归纳递推:假设n=k,(k∈N*,k≥n0)时,命题成立,
证明当n=k+1时,命题成立;
(3)由(1)(2)得出结论.
一般结论
数学归纳法
,逐步寻求使结论成立的( )

答案:A
(n)对n=k成立,则它对n=k+(n)对n=2成立,则下列结论正确的是( )
(n)对所有正整数n都成立 (n)对所有正偶数n都成立
(n)对所有正奇数n都成立 (n)对所有自然数n都成立
解析:归纳奠基是:n=:n=k成立,则对n=k+2成立.∴p(n)对所有正偶数n都成立.
答案:B
,若n=k(k∈N*)时命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知n=5时,该命题不成立,那么可以推得( )
=6时该命题不成立 =6时该命题成立
=4时该命题不成立 =4时该命题成立
解析:解法一:由n=k(k∈N*)成立,可推得当n=k+=4成立,必有n==5不成立,所以n=4一定不成立.
解法二:其逆否命题“若当n=k+1时该命题不成立,
则当n=k时也不成立”为真,故“n=5时不成立”⇒“n=4时不成立”.
答案:C
,在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件________时,有A1C⊥B1D1.(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)
解析:从结论出发,找一个使A1C⊥B1D1成立的充分条件.
因而可以是:AC⊥BD或四边形ABCD为正方形.
答案:AC⊥BD
用综合法证明不等式时,应注意观察不等式的结构特点,,常要用到以下证题依据:
(1)若a,b∈R,则|a|≥0,a2≥0,(a-b)2≥0;
(2)若a,b同号,则≥2;
(3)若a,b∈(0,+∞),则;a,b∈R,则a2+b2≥2ab.
【例1】设a>0,b>0,c>0,证明: ≥a+b+c.
证明:∵a,b,c>0,根据基本不等式,
有+b≥2a , +c≥2b , +a≥2c.
三式相加: +a+b+c≥2(a+b+c).
即≥a+b+c.