复变函数论9.ppt

文档介绍：辅导课程九
复变函数论
主讲教师:李伟勋
第四章       幂级数
数学分析中的级数理论很容易推广到复函数上来,并得到某些系统的结论。不仅如此,级数可作为研究解析函数的一个重要工具,将解析函数表示为幂级数。是泰勒定理由实情形的推广,是研究解析函数的另一重要方法(注意前一章是用复积分方法研究)
第一节复级数的基本性质
1 复数项级数
对于复数项的无穷级数

命(部分和)。若

则称复数项级数收敛于
否则称级数发散。
设,
则复数级()收敛于
的充要条件为:
实级数及
分别收敛于及。
        考察级数
的敛散性。
解因发散,故虽
收敛,我们仍断定原级数发散。
定义 若级数收敛,
则原级数称为绝对收敛;
非绝对收敛的收敛级数,称为条件收敛。
(1)一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序,而不致改变其绝对收敛性,亦不致改变其和。
(2)两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得出乘积级数。
2. 一致收敛的复函数项级数
设复变函数项级数
()
在点集上存在一个函数,对于
上的每一个点,级数()均收敛于,则称为级数()的和函数,记为
对于级数(),如果对任意给定的,存在正整数
当时,对一切的均有
则称级数()在上一致收敛于
定理 (优级数准则)若存在正数列,使对一切,有
而且正项级数收敛,则复函
数项级数在集上绝对收敛且一致收敛。