文档介绍：高等代数
第五版
张和瑞郝镔新编
普通高等教育“十一五”国家及规划教材
第一章基本概念
作为大学数学基础课程的代数,是中学代数的继续和提高. 作为开始,我们先介绍一些最基本的概念和方法,这些概念和方法对于我们今后的学习是很有必要的.
§ 集合
集合的概念:表示一定事物的集体. (常用A,B,C,…表示集合)
元素:组成集合的东西.(用a,b,c, …表示元素)
如果a是集合A的元素,就说a属于A,记作a∈A;或者A包含a,记作Aa
有限集合:一个集合只含有有限多个元素,记作﹛a1,a2, …,an﹜
无限集合:一个集合是由无限多个元素组成.
子集:设A,,那么就说A是B的子集,记作AB,读作B包含A
交集:由集合A与B的公共元素所组成的集合叫做A与B的交集(简称交) ,记作A∩B
并集:设A,B是两个集合,由A的一切元素和B的一切元素所组成的集合叫做A与B的并集(简称并),记作A ∪B
补集:相对全集来描述
一些约定:Z表示全体整数的集合,Q表示全体有理数的集合,R全体实数的集合,C全体复数的集合
集合的表示:=﹛x︳x具有某一性质﹜ =﹛a1,a2, …,an﹜通常适用于有限集合
几种特定集合:-B=﹛x︱x ∈A 但x ∈B ﹜称A与B的差 ×B=﹛(a,b)︱ a∈A ,b ∈ B﹜称A与B的笛卡尔积(简称积)
§ 映射
定义1 设A,,通过这个法则,对于集合A中每一个元素x,有集合B中一个唯一确定的元素y与它对应.(常用字母f,g,…:A→B表示f是A到B的一个映射)
恒等映射: ∈A,令f(x)=x与它对应: f: xˉ→x .
注意以下几点:①A与B可以是相同的集合,也可以是不相同的集合. ②对于A的每一个元素x,需要有B中一个唯一确定的元素与它对应. ③一般来说,B中的元素不一定都是A中元素的像. ④ A中不相同的元素的像可能相同.
函数概念的推广:常常把A到B的映射叫作定义在A上,取值在B内的函数.
定义2 (A)=B,那么就称f是A到B上的一个映射,这是也称f是一个满映射,简称满射
定义3 设f:A→,只要x1≠x2,就有f(x1) ≠ f(x2) ,那么就称f是A到B的一个单映射,简称单射
如果f:A→B既是满射,又是单射,如果f满足下列两个条件:(ⅰ) f(A)=B; (ⅱ) f(x1)= f(x2) => x1=x2,对一切x1,x2 ∈A,那么就称f是A到B上的一个双射或一一映射.
令f:A→: (ⅰ)f是一个双射; (ⅱ) 存在B到A的一个映射g,使得gf=jA,fg=,当条件(ⅱ) 成立时,映射g是由f唯一确定的.
§ 数学归纳法
最小数原理:正整数集N*的任意一个非空子集S必含有一个最小数,也就是这样一个数a∈S,对于任意c ∈S都有a≦c.
(数学归纳法原理)设有一个与正整数集n有