文档介绍：离散小波变换与框架
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一、离散小波变换
在二进小波变换的基础上，进一步将平移参数离散化，就得到一个二维序列:
此序列是离散小波系数，是连续小波系数的一个离散子集。
在一般情况下，尺度参有：
上式表明，是H空间的一个框架。
记的伴随算子为：，则由：
可得：
则定理中 (式3-18b)、 (式3-18c)、 (式3-18d)既可得证。
(式3-19)
(式3-20)
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由(式3-13)：
同理：
(式3-21)
(式3-22)
以上两式就是 f 的重构公式，由<f, φj >重构 f 需要求出框架φj的对偶：
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需要说明的是：正如前面所述，框架的各元素之间可能是线性相关的。这样重构 f 的公式将不惟一。但当A＝B＝1时，
，可以证明，这时的框架就构成一组正交基。则有：
(式3-23)
(3)对偶框架的计算
重构 f 需要求出对偶框架，困难在于：必须计算(F*F)-1的值。在A＝B的紧框架条件下，容易得到：
而在一般情况下，却只能采用近似计算或迭代计算的方法。
令：
(式3-24)
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则：
(式3-25)
再由(式3-15)、(式3-15)可知：
(式3-26)
(式3-27)
若B充分接近A，则 r<<1 ，所以 ||R|| 充分接近于0。 (式3-25)中可忽略 Rf 项，则有近似公式：
(式3-28)
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当 r 不满足还远小于1的条件时，由于||R||<1l，仍可导出一个具有指数收敛于 f 的重构算法。
由(式3-24)可得：
则：
(式3-29)
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(式3-29)中级数取N项，有：
（将R表达式代入）
(式3-30)
最后得到迭代公式
(式3-31)
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三、小波框架（本节定理证明参见《小波十讲》）
现在我们再回到利用离散小波系数重构原函数f(t)的问题上来。
由框架理论可知，只要尺度和平移参数皆离散化的分析小波(即式3-2) 构成L2(R)空间中的一个框架，则由 (式3-3)得到的离散小波系数就可以完全稳定地重构f(t)。这时我们称
为由母小波生成的小波框架。
为使构成L2(R)空间的一个框架，框架界为A和B，母小波需满足以下必要条件和充分条件。
(1)必要条件
(式3-32)
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(2)充分条件
如果选择和a0，使：
(式3-33)
并且使：
至少像一样快地衰减，那么存在b*>0,使得对于所有，构成一个框架，这时，框架界为：
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(式3-34)
上述关于小波框架对母小波的约束条件，在实际计算中往往很简单。只要选择的母小波在时域和频域上都有适当的衰减，那么一定存在a0和b0的某个取值范围，使构成小波框架。事实上，只要：
则充分条件的要求将得到满足。
(式3-35)
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按框架理论，由离散小波系数重构 f(t) 必须利用小波框架的对偶框架，即:
(式3-37)
(式3-36)
因为现在小波框架为二维序列，所以计算量是很大的。在实际计算中经常用的方法之一是：通过a0、b0的选取使的框架上、下界B、A尽量接近，这样就可以按下式重构:
(式3-38)
其重构误差决定于B/A ，也决定于a0,b0。
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四、Riesz 基
利用小波框架，可以实现离散小波变换的反变换，只要求出小波框架的对偶框架。在A=B=1时，变为一组正交基，这时小波系数间是不相关的。但在一般情况下，小波系数间仍保存相关性。
则：
(式3-39)
上式说明，只要与正交，即：
(式3-40)
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Cj,k就是线性无关的，这时，小波框架也是线性无关的，
否则， Cj,k就是线性相关的，小波框