文档介绍：离散小波变换与框架离散小波变换框架框架算子对偶框架离散小波变换?许多应用中,特别是在信号处理中,数据用有限数目的值表示,所以重要的是考虑连续小波变换的离散情形。?固定两个正参数。选取其中 m,n 取遍 Z,而是固定的。记?的离散小波变换为 00,ba m ma nb baa 000,??0,1 00??baZnm nb taa at m m a a nb tm nm m m????????,)()()( 00 20 20, 0 00??)( 2RLf? dtttffnmfW nm nm????????)()(,), )(( , ,??? dt nb tatfa m?????)()( 0 0 0 2 1?框架?框架是 Duffin 与 Schaeffer(1952) 在非调和 Fourier 级数的研究中引入的。?框架与基底一样仍然是表示可分 Hilbert 空间元素的工具,不同的是框架中不要求元素的线性无关性。?定义在 Hilbert 空间 H中的一个序列称为是一个框架,如果存在 0< A,B <∞,使对于所有,有并称数 A,B 是框架界。如 A=B 则称是紧框架。 Jjj?}{? Hf? 2 2 2 || |||,| || ||fBffA Jj j???????函数用紧框架表示?在紧框架中,对于所有,有用内积恒等式推出或至少在较弱的意义下 Hf? 2 2 || |||,|fAf Jj j??????i igf igfgfgfgf 4 || || || ||4 || || || ||, 2 2 2 2?????????????????? j jjgfgfA,,,???????? gf j jj,,?? jj jfAf???????, 1框架的例子?取对于任一 H 中的,有由此得出, 是一个紧框架,由于线性相关,所以不是一个基。注意,在这个例子中,框架给出了(在二维空间中三个向量的)”多余比”。, 2RH?),21,23( ),1,0( 21????ee)21,23( 3?e),( 21vvv? 222 112 3 222 112 3 22 31 2|||||||,|vvvvvev j j?????????? 22 3 22 212 3 || ||]||| [|vvv???},,{ 321eee 321,,eee 1e 2e 3e o紧框架相关结论?如果是 Hilbert 空间 H的一个规范正交基。则是H的一个紧框架,且 A=B= 2 而是H的一个紧框架, 且框架界为 1,但它不是一个正交基。?定理如果是一个紧框架,而框架界为 1,并且如果对于所有成立,那么构成 H的一个正交基。证明因对所有推出 f=0, 所以, 张成 H,下面验正正交,取,有因,这就推出对所有成立??1}{ jje},,,,{ 2211? eeee},,,,,,{ 33322 1 33322? eeeeee Jjj?}{?1 || ||? j? Jj?}{ j?0,??? jf? jf?????????????? Jjjj jj Jj jjjj ',' 2' 2 ' 2' 2 |,| || |||,| || || ??????1 || ||? j? 0, '??? jj??jj?'框架算子?定义(框架算子)是H中一个框架,那么框架算子 F是由 H到的线性算子, Ff 的分量定义为?由框架定义得到,即框架算子是有界的。 F的伴随算子,是这样计算的:由于所以,至少在较弱的意义下这时的伴随算子也是有界线性算子。 Jjj?}{?}|| || :||}{{)( 22 2????????Jj Jl?Jjf Ff jj????,,)(? 22 || || || ||fB Ff?HJlF??)(: 2??????????? Jj jjfc FfcfcF?,,,??????????fcfc jJj jjJj j,,?? jJj jccF??????F框架算子(续) ?由 F 定义推出借助于 F,框架条件能够再写为(A) 其中 Id 是不变算子。?记,则 T 是H→H的有界线性算子, 特别是式(A) 隐含 T 是可逆的。由 T 的定义, 对任何算子 T 是H→H的框架算子。???????? Ff Ff Ff f Jj j, || |||,| 2 2?????f Ff F, BId FF AId???FFT ??Hf?????? Jj jjf Tf??,框架中等价陈述?是H中一序列,下述陈述等价(0< A,B< ∞) ⑴框架算子 T是H上有界线性算子,有⑵是具有框架界 A,B 的一个框架。证明如(1) 成立,关系等价于由 Id是恒等算子, 等。还有这给出假定(2) 成立,