文档介绍：离散小波变换与框架
离散小波变换与框架离散小波变换与框架其卷积型定义有：(式3-4)即：对于二进小波，令a0=2，b0=1．则有：(式3-5)(式3-6)对于a0、b0的选取，依赖于小波母函数。
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其卷积型定义有：
(式3-4)
即：
对于二进小波，令a0=2，b0=1．则有：
(式3-5)
(式3-6)
对于a0、b0的选取，依赖于小波母函数。
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我们最为关切的问题：
(t)?
(t) ∈L2(R)，是否能表示为基函数ψj,k(t)的线性组合？
上述两个问题实质上是一个问题的两个方面，即能否用离散小波系数将f(t)完全“特征化”。若用数学语言来描述，就是能否这样定义线性变换：使得其正反变换连续。
首先．正变换是连续的，表明线性变换有界：
即：
其次．由反变换是连续的，可得：
即：
(式3-8)
(式3-7)
以上两式表明，将f(t)完全“特征化”意味着ψj,k(t)应满足：
(式3-9)
由此便引出了L2(R) 空间的“框架”概念。
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二、框架
1、框架定义
定义设 ,若对于一切，存在常数0﹤A≤B﹤∞,使得：
则称函数序列为空间的一个框架。B、A分别称为此框架的上、下界．A＝B时称为紧框架。
(式3-10)
若A=B=1, 则为的正交基，则有：
(式3-10)也称为稳定性条件。
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例3-1：设，则对于H中的任意向量，有：
即：
表明是R2空间的紧框架，但不是正交基，因为：
线性相关。
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2、框架算子
为便于讨论框架，引入框架算子。
：如果为H空间的一个框架，那么框架算子F定义为H空间向空间的映射，即：
(式3-11)
因为内积运算为线性运算，所以F为线性算子。由框架定义，可知F为有界线性算子，并且有逆算子存在。
记F的伴随算子(共轭算子)为F*。则按伴随算子的定义：，，则有：
(式3-12)
(式3-13)
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由F的定义可得：
(式3-14)
(式3-10)可写成：
令Id为H到H的单位算子，即： Idf=f，上式可写成：
(式3-15)
F*F为由H到H的有界线性算子，必有逆算子存在，记逆算子为(F*F)-1它必满足：
(式3-16)
因为：
按伴随算子的定义，(F*F)应为自伴随算子，由此可得其逆算子(F*F)-1也为自伴随算子.
证明：
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3、对偶框架
(1):对于H空间中的一个框架，其算子为F，则定义：
称为的对偶框架(共扼框架)。
(式3-17)
(2)对偶框架算子
设为H空间的一个上、下界为B和A的框架，其框架算子为F，为其对偶框架,则也构成H空间的一个框架，其上、下界分别为A-1和B-1，其框架算子满足：
(式3-18a)
(式3-18b)
(式3-18c)
(式3-18d)
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证明：
由于 (F*F)-1是自伴随算子，以上两式相等，有：
(式3-18a)得证。
由内积定义：
(由伴随算子定义)
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利用式3-16，有：
将以上两式合并，有：
上式表明，是H空间的一个框架。
记的伴随算子为：，则由：
可得：
则定理中 (式3-18b)、 (式3-