文档介绍：§
y
x
0
新钢中学钟有平
:函数y=x2-4x+3的图象
2
y
x
0
递增区间:(2,+∞).
递减区间:(-∞,2).
如何确定函数y=x2-4x+3的单调性??
(2)作差f(x1)-f(x2),并变形.
:
(1)设x1、x2是给定区间的任意两个
值,且x1< x2.
(3)判断差的符号(与0比较),从而得函数的单调性.
例1:讨论函数y=x2-4x+3的单调性.
解:取x1<x2∈R,
f(x1)-f(x2)=(x12-4x1+3)-(x22-4x2+3)
=(x1+x2)(x1-x2)-4(x1-x2)
= (x1-x2)(x1+x2-4)
则当x1<x2<2时, x1+x2-4<0, f(x1)>f(x2),
那么 y=f(x)单调递减。
当2<x1<x2时, x1+x2-4>0, f(x1)<f(x2),
那么 y=f(x)单调递增。
综上 y=f(x)单调递增区间为(2,+∞)
y=f(x)单调递减区间为(-∞,2)。
那么如何判断下列函数的单调性呢?
问题:用单调性定义讨论函数
单调性虽然可行,但比较麻烦.
如果函数图象也不方便作出来时..
是否有更为简捷的方法呢?
先通过函数的y=x2-4x+3图象来考
察单调性与导数有什么关系:
2
y
x
0
.
.
.
.
.
.
.
观察函数y=x2-4x+3的图象上的点的切线:
总结:该函数在区间
(-∞,2)上递减,
切线斜率小于0,即其
导数为负,在区间(2,+∞)上递增,切线斜率大于0,即其
=2时其切线斜率为0,.
如果在某区间上f’(x)>0,则f(x)为该区间上增函数;
如果在某区间上f’(x)<0,则f(x)为该区间上减函数.
上面是否可得下面一般性的结论:
一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,则函数在
该区间有下面的结论:
如果在某区间上f’(x)>0,则f(x)为该区间上的增函数;
如果在某区间上f’(x)<0,则f(x)为该区间上的减函数.
总结归纳:
例1:讨论函数y=x2-4x+3的单调性.
方法3:导数法
解:函数的定义域为R, f’(x)=2x-4
令f ’(x)>0,解得x>2,
则f(x)的单增区间为(2,+∞).
再令f ’(x)<0,解得x<2,
则f(x)的单减区间(-∞,2).
例2:求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间.
解:函数的定义域为R,f’(x)=6x2-12x
令6x2-12x>0,解得x<0或x>2,
则f(x)的单增区间为(-∞,0)和
(2,+∞).
再令6x2-12x<0,解得0<x<2,
则f(x)的单减区间(0,2).
注:当x=0或2时, f′(x)=0,即函数在该点单
调性发生改变.