文档介绍：《高等数学》课件(第四章第二节)
洛必达(L’Hospital) 法则
在求一些特殊类型的极限时, 其结果呈现不确定性, 我们称这些类型的极限为不定式.
如: f (x) 0, g (x) 0, 称极限, 为型;
f (x) , g (x) , 称极限, 为型;
f (x) 0, g (x) , 称极限 lim f (x) g (x), 为 0 型;
f (x) , g (x) , 称极限 lim (f (x) g (x)), 为型;
f (x) 0, g (x) 0, 称极限 lim (f (x)) g (x) 称为 0 0 型;
f (x) , g (x) 0, 称极限 lim (f (x)) g (x) 为 0 型;
f (x) 1, g (x) , 称极限 lim (f (x)) g (x) 为 1 型.
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关于型及型不定式的洛必达法则
定理 4-4 (L’Hospital 洛必达法则) 如果 f (x) 和 g (x) 满足下列条件:
(1) 在 x 0 的某一去心邻域内可导, 且 g(x) 0 ;
则
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证明补充定义 f (x 0) = g (x 0) = 0, 则 f (x), g (x) 在区间[x, x 0] 和[x 0, x] 上满足 Cauchy 中值定理的条件, 由 Cauchy 定理, 在 x 0, x 之间存在, 使得
令 x x 0, 必有 x 0, 从而
注 1 将条件(2) 换为
定理的结论仍然成立.
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注 2 对于和型的极限, 当极限过程为
x 0, x x 0+, x , x , x + ,
定理的结论仍然成立.
注 3 当极限不存在时, 不能断定极限
不存在, 需用其他方法讨论极限.
注 4 对于和型数列极限不能直接应用罗必达法则.
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例 1 求
解
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例 2 求
解
对指数函数 a x (a > 1), 幂函数 x (> 0) 和对数函数(log b x) (b > 1, > 0), 当 x + 时, 它们都趋于正无穷, 例 2 表明, 指数函数是比幂函数高阶的无穷大, 同样, 幂函数是比对数函数高阶的无穷大.
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例 3 求
解这是型的极限, 但极限
不存在, 所以不能使用罗必达法则. 但可用其它方法求极限.
其中第一个等式使用等价无穷小替换, 第二个等式应用无穷小量与有界变量的乘积.
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例 4 求
解
注当分子或分母的某个因子的极限存在且不为零, 则可将其单独求出.
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例 5 求
解
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例 6 求
解