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第四章微分中值定理与导数的应用
中值定理(2课时)
要求:理解罗尔中值定理与拉格朗日中值定理。了解柯西中值定理。
重点:理解中值定理及简单的应用。
难点:中值定理证明的应用。
一、罗尔(Rolle)定理
罗尔定理如果函数满足条件
(1)在闭区间上连续;
(2)在开区间内可导;
(3).
则在开区间内至少有一点,使得函数在该点的导数等于零,即.
几何解释
设曲线的方程为,罗尔定理的条件的几何表示,是一条连续的曲线弧,除端点外处处具有不垂直于轴的切线,且两个端点的纵坐标相等,结论是曲线弧上至少有一点C,,在曲线的最高点或最低点处,切线是水平的,这就启发了我们证明这个定理的思路,应在函数取最值点处找.
.
证明因为函数在闭区间上连续,可导.
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且
函数在区间上满足罗尔定理条件,所以在区间内存在使得,
于是.
故确实在区间内至少存在一点使得,结论成立.
二、拉格朗日中值定理(微分中值定理)
几何分析
拉格朗日中值定理设函数满足条件
(1)在闭区间上连续;
(2)在开区间内可导.
则在区间内至少存在一点,使得等式
成立.
推论1 如果函数在区间I上的导数恒为零,那么函数在区间I上是一个常数(它的逆命题也成立).
.
证明构造函数,
因为函数在上可导,且
由推论得,,
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当时,, 从而
.
、可导,且,则在I上有.(如何证明?)
.
证明设函数,
因为函数在上满足拉氏定理条件,则有
,
由于,,因此上式成为
,
又由于,有,
从而().
说明利用拉格朗日中值公式证明不等式关键是选择函数及对应的区间,步骤如下,
(1)选择适当函数及相应区间,使其满足定理的条件,有
;
(2)在区间上找出导函数最大(小)值,即有,
于是得到不等式.
三、柯西中值定理(广义微分中值定理)
柯西中值定理如果函数及满足条件
(1)在闭区间上连续;
(2)在开区间内可导,且,
则在区间内至少有一点,使等式
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成立.
说明
(1)公式中的是同一值,即();
(2)当时,,正是拉氏中值公式;
三个定理联系,罗尔定理拉氏定理柯西定理.
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洛必达法则(2课时)
要求:知道洛必达法则成立的条件,能熟练的用洛必达法则求求各种不定式的极限。
重点:利用罗比塔法则求未定式的极限。
难点:利用罗比塔法则求幂指函数的极限。
一、不定式
依照极限运算法则求某些函数的极限时,常会遇到几种奇怪的现象,,, ,,,,这些都称为不定式或未定式,究竟这种极限是否存在?如何计算这些极限呢?下面介绍的洛必达法则就是求基本不定式“”.
二、基本不定式
1.“”型不定式
定理1 若函数满足下列条件
(1);
(2)在点的某空心邻域内、存在,且;
(3)存在(或为无穷大);
则.
(利用柯西中值定理,将函数与其导数联系起来.)
注意
(1)使用洛必达法则时,要注意条件,首先必是型的不定式,再极限存在或无穷大,若极限不存在或非无穷大,则不可以使用洛必达法则;
(2)如果极限仍为型不定式,且满足定理条件,可继续使用洛必达法则.
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.
解.
注意上式中的极限已不是不定式,不能对它再使用洛必达法则.
.
解
(或=).
.
解==.
.
解
=
=.
注意
(3)应用洛必达法则求极限,常与以前讲过的方法结合起来使用会更方便;
(4)应用洛必达法则求极限过程中,极限存在且不为零的因子可分离出来,以便化简后面求解过程.
定理2 若函数满足下列条件
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(1);
(2)当时,都存在,且;
(3)存在(或为无穷大);
则=.
(证明时令,则时,,应用定理1即可证).
.
解==1
定理3 若函数满足下列条件
(1), ;
(2)当时,都存在,且;
(3)存在(或为无穷大);
则=.
说明定理3对时仍成立.
求两个基本极限.
().
解==0.
(为自然数,).
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