文档介绍：微分中值定理
第四章
定理1(费马(Fermat)定理)设f(x)在内有定义,若f(x)在可导且对任意的∈
有(或),则
第一节微分中值定理
一、罗尔定理
定理2 (罗尔(Rolle)定理) 如果函数f(x)满足:
(1) 在[a,b]上连续,
(2) 在(a,b)内可导,
(3) f(a)=f(b),
则至少存在一点∈(a,b),
使得f()=0.
在曲线上至少存在一点C,在该点曲线具有水平切线.
证因为f(x)在[a,b]上连续,f(x)在[a,b]上必取得最大值M和最小值m.
(1) 如果M=m, 则f(x)在[a,b]上恒等于常数M, 因此,对一切x∈(a,b),都有 f(x)=.
(2) 若M>m,由于f(a)=f(b),因此M和m中至少有一个不等于f(a).设M≠f(a),则f(x)应在(a,b)内的某一点处达到最大值,即f()=M,由费马定理知f()=0.
例验证罗尔定理对函数f(x)= x2-2x+3在区间[-1,3]上的正确性.
注罗尔定理的三个条件缺少其中任何一个,定理的结论将不一定成立.
显然函数f(x)= -2x+3在[-1,3]上满足罗尔定理的三个条件,
解
由f(x)=2x-2=2(x-1),可知f(1)=0,
因此存在=1∈(-1,3),使f(1) =0.
二、拉格朗日中值定理
定理3 若函数y=f(x)满足下列条件:
(1) 在闭区间[a,b]上连续;
(2) 在开区间(a,b)内可导.
则至少存在一点∈(a,b),使得
证作辅助函数
F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且
F(x)满足罗尔定理的条件,故至少存在一点∈(a,b),使得F()=0,即
因此得
拉格朗日中值定理中的公式称为拉格朗日中值公式,也可以写成
f(b)-f(a)= f()(b-a) (a<<b)
是(a,b)中的一个点, =a+(b-a)(0<<1),拉格朗
日中值公式还可写成
f(b)-f(a)=(b-a)f[a+ (b-a)] (0<<1)
a与b分别换成x与x+x, b-a=x,拉格朗日中值公式写成
f(x+x)-f(x)=f(x+ x)·x (0<<1).
称为有限增量公式.
例
证
推论1 如果f(x)在开区间(a,b)内可导,且f(x)≡0,则在(a,b)内,f(x)恒为一个常数.
几何意义是斜率处处为零的曲线一定是一条平行于x轴的直线.
证在(a,b)内任取两点x1, x2, 设x1< x2 ,显然f(x)在[x1,x2]上满足拉格朗日中值定理的条件
因为 f(x)≡0,所以 f()=0 .
从而 f(x2)=f(x1) .