文档介绍：【教育类精品资料】

a
b
x
y
O
定义
一般地, 设函数 f (x) 在点x0附近有定义, 如果对x0附近的所有的点, 都有
我们就说 f (x0)是 f (x)
的一个极大值, 点x0叫做函数 y = f (x)的极大值点.
反之, 若, 则称 f (x0) 是 f (x) 的一个极小值, 点x0叫做函数 y = f (x)的极小值点.
极小值点、极大值点统称为极值点, 极大值和极小值统称为极值.
y
a
b
x1
x2
x3
x4
O
x
观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.
(1)函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的,在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值
(2)极大值不一定比极小值大
(3)可导函数f(x),点是极值点的必要条件是在该
点的导数为0
例:y=x3
练习1
下图是导函数的图象, 试找出函数的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.
a
b
x
y
x1
O
x2
x3
x4
x5
x6
因为所以
1 求函数的极值.
解:
令解得或
当, 即, 或;
当, 即.
当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表:
x
(–∞, –2)
–2
(–2, 2)
2
( 2, +∞)
0
0
f (x)
–
+
+
单调递增
单调递减
单调递增
所以, 当 x = –2 时, f (x)有极大值 28 / 3 ;
当 x = 2 时, f (x)有极小值– 4 / 3 .
求解函数极值的一般步骤:
(1)确定函数的定义域
(2)求方程f’(x)=0的根
(3)用方程f’(x)=0的根,顺次将函数的定义域分成若干个开区间,并列成表格
(4)由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号,来判断f(x)在这个根处取极值的情况
练习2
求下列函数的极值:
解:
令解得列表:
x
0
f (x)
+
单调递增
单调递减
–
所以, 当时, f (x)有极小值