文档介绍：1．已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则 f(x)是（）
A
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数，又是偶函数
D．既不是奇函数，又不是偶函数
第7讲
抽象函数
1．已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则 f(x)是（）
A
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数，又是偶函数
D．既不是奇函数，又不是偶函数
第7讲
抽象函数
2．函数 f(x)满足 f(x)·f(x＋2)＝13，若 f(1)＝2，则 f(99)＝(
)
A．13
B．2
13
C.
2
2
D.
13
C
3．设奇函数 f(x)满足：对∀x∈R 有 f(x＋1)＋f(x)＝0，则 f(5)
＝____.
0
4．已知定义在 R 上的函数 f(x)是偶函数，对 x∈R 都有 f(2＋
x)＝f(2－x)，当 f(－3)＝－2 时，f(2 013)的值为_____.
－2
5．已知函数 f(x)的定义域为 R＋，并且对任意正数 x，y 都有
f(xy)＝f(x)＋f(y)，则
(1)f(1)＝____；
0
1
2
1．满足解析式f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)的是正比例函数型抽象函数．
　　2．满足解析式f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)的是对数函数型抽象函数．
　　3．满足解析式f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)的指数函数型抽象函数．
考点1 　正比例函数型抽象函数
例1：设函数 f(x)对任意 x，y∈R，都有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
且 x>0 时，f(x)<0，f(1)＝－2.
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)试问在－3≤x≤3 时，f(x)是否有最值？如果有求出最值；
如果没有，说出理由．
(1)证明：令x＝y＝0，
则有f(0)＝2f(0)⇒f(0)＝0.
令y＝－x，则有f(0)＝f(x)＋f(－x)．
即f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．
(2)解：任取x1<x2，则x2－x1>0⇒f(x2－x1)<0.
且f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)＝－f(x2－x1)>0.
∴f(x1)>f(x2)．∴y＝f(x)在R上为减函数．
因此f(3)为函数的最小值，f(－3)为函数的最大值．
f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.
∴函数最大值为6，最小值为－6.
(1)正比例函数型抽象函数的一般步骤为：
f(0)＝0⇒f(x)是奇函数⇒f(x－y)＝f(x)－f(y)⇒单调性．
(2)小技巧判断单调性：
设x1<x2，则x2－x1>0⇒f(x2－x1)<0⇒f(x2)＝f(x2－x1＋x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)<f(x1)，得到函数单调递减．
【互动探究】
1．已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则下
列错误的是(
)
D
考点2 　对数函数型抽象函数
(1)求证：f(x)是偶函数；
(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(3)解不等式 f(2x2－1)<2.
例2：已知函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，对定义域内的任意x1，x2，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时f(x)>0，f(2)＝1.
(1)证明：对定义域内的任意x1，x2都有
f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，令x1＝x，x2＝－1，
则有f(－x)＝f(x)＋f(－1)．
证明抽象函数的单调性通常是用单调性的定义结
合比较法(作差法、作商法)，函数的单调性是比较大小的常用方法．
运用不等式性质时应从结论出发，寻找解题的切入点．
【互动探究】
当 f(x)＝lgx 时，上述结论中正确结论的序号是_____.
②③
考点3 　指数函数型抽象函数
例3：定义在 R 上的函数 y＝f(x)，f(0)≠0，当 x＞0 时，f(x)>1，
且对任意的 a，b∈R，有 f(a＋b)＝f(a)·f(b)．
(1)求证：f(0)＝1；
(2)求证：对任意的 x∈R，恒有 f(x)＞0；
(3)求证：f(x)是 R 上的增函数；
(4)若 f(x)·f(2x－x2)＞1，求 x 的取值范围．
(1)指数函数型抽象函数的一般步骤为 f(0)＝1⇒
(4)由f(x)·f(2x－x2)＞1，f(0)＝1得
f(3x－x2)＞f(0)．
又f(x)是R上的增函数，∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3.
(2)小技巧