文档介绍：BB86对坐标曲线积分
若 为空间曲线弧 , 记
称为对 x 的曲线积分;
称为对 y 的曲线积分.
若记
, 对坐标的曲线积分也可写作
类似地,
8
(1) 若 L 可分成 BB86对坐标曲线积分
若 为空间曲线弧 , 记
称为对 x 的曲线积分;
称为对 y 的曲线积分.
若记
, 对坐标的曲线积分也可写作
类似地,
8
(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧
(2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则
则
定积分是第二类曲线积分的特例.
说明:
对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !
9
三、对坐标的曲线积分的计算法
定理:
在有向光滑弧 L 上有定义且
L 的参数方程为
则曲线积分
连续,
存在, 且有
思想方法： 统一变量化为定积分
利用变量代入法可得上式 左边＝右边
证明：
10
特别是, 如果 L 的方程为
则
对空间光滑曲线弧 :
类似有
11
例1. 计算
其中L 为沿抛物线
解法1 取 x 为参数, 则
解法2 取 y 为参数, 则
从点
的一段.
12
例2. 计算
其中 L 为
(1) 半径为 a 圆心在原点的
上半圆周, 方向为逆时针方向;
(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ).
解: (1) 取L的参数方程为
(2) 取 L 的方程为
则
则
13
例3：计算：
其中L 为折线 OABO, O(0,0) A(1,0) B(1,2)
解：
14
例4. 设在力场
作用下, 质点由
沿移动到
解: (1)
(2) 的参数方程为
试求力场对质点所作的功.
其中为
15
例5. 求
其中
从 z 轴正向看为顺时针方向.
解: 取 的参数方程
16
四、两类曲线积分之间的联系
设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为
已知L切向量的方向余弦为
则两类曲线积分有如下联系
17
类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是
令
18
例1.
将积分
化为对弧长的积
分,
解：
其中L 沿上半圆周
19
1. 定义
2. 性质
(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧
(2) L－ 表示 L 的反向弧
对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!
内容小结
20
3. 计算
• 对有向光滑弧
• 对有向光滑弧
21
4. 两类曲线积分的联系
• 对空间有向光滑弧 :
22
谢谢！