文档介绍：第3章张量函数及其导数
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第一页，共三十一页。
主要内容
张量函数、各向同性张量函数的定义和例
矢量的标量函数
二阶张量的标量函数
二阶张量的二阶张量函数
张量函数导数的定义，链规则
矢量的函数之导数
二阶张量的函数之导数
第3章张量函数及其导数
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第一页，共三十一页。
主要内容
张量函数、各向同性张量函数的定义和例
矢量的标量函数
二阶张量的标量函数
二阶张量的二阶张量函数
张量函数导数的定义，链规则
矢量的函数之导数
二阶张量的函数之导数
第二页，共三十一页。
张量函数、各向同性张量函数的定义和例
要研究导数，必须引进函数。
张量函数，有各种类型。
例如，张量的标量函数：
例如，张量的张量函数：
第三页，共三十一页。
张量函数、各向同性张量函数的定义和例
各向同性张量函数（客观性背景）
可先看各向同性标量函数：在坐标系刚性旋转变换下，其表现形式和数值均保持不变。
例如：
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张量函数、各向同性张量函数的定义和例
等价表示或等价描述：上述各向同性函数的描述，虽然清晰，但很不方便，因为坐标系要旋转。问题：能否找到一种等价描述，在该描述下，坐标系保持不动？
经典《解析几何》中，解析地描述一个几何图形的运动，有两种不同的思想。一种思想：图形不动，移动坐标。但运动是相对的，于是另一种思想：坐标不动，图形移动。
注意：运动学思想之重要！
第五页，共三十一页。
张量函数、各向同性张量函数的定义和例
考察一个最简单的图形，一个矢量。研究两种相对的旋转运动下，矢量的表达，以及矢量的标量函数的表达。一种旋转运动，矢量不动，坐标系顺时针旋转一个角度，函数不变：
另一种旋转运动，坐标系不动，矢量逆时针旋转同一个角度，函数不变：
进一步：
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张量函数、各向同性张量函数的定义和例
矢量的旋转量：
二阶张量的旋转量：
进一步看：
第七页，共三十一页。
张量函数、各向同性张量函数的定义和例
把上述思想推广至一般情形：各向同性张量函数
函数
满足当自变量
改为其旋转量
时，函数值
必相应地
变为其旋转量
，即：
通过正交变换，使
从而使
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张量函数、各向同性张量函数的定义和例
各向同性张量函数
例子请见《张量分析》的92 ~ 93页。
第九页，共三十一页。
矢量的标量函数
Cauchy基本表示定理：
矢量
的标量函数
为各向同性
f 可表示为内积
的函数。
推论：
矢量
的标量函数
为各向同性
f 可表示为
第十页，共三十一页。
张量的标量函数
定理1：
若
为各向同性函数
例：屈服函数
定理2：
若
为各向同性函数
时，发生屈服，张成的曲面为屈服面。
因此，
一次项
二次项
三次项
第十一页，共三十一页。
张量的标量函数
例：屈服函数
若材料不可压缩，
马氏体相变（金属材料）+ 塑性屈服
考虑
因此有
消失；
若只研究二次项，
消失，因此有
若材料可压缩，
则与
有关，因此有
第十二页，共三十一页。
二阶张量的二阶张量函数
二阶张量的解析函数
幂级数：
仿照复变函数中的解析函数来构造二阶张量的解析函数：
如何确定？
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二阶张量的二阶张量函数
Hamilton-Cayley等式
推广：
T的特征多项式：
H-C等式：
均可用来表达。
由于，
也就是说，
H-C等式的意义：只需研究低次项，而无需高次项。
第十四页，共三十一页。
二阶张量的二阶张量函数
例：应力应变关系
1、各向同性材料
未加载时，有
2、线性各向同性材料
则
因此，有
第十五页，共三十一页。
张量函数导数的定义，链规则
有限微分、导数与微分
函数的导数、微分：
有限微分是张量函数导数的核心！
※先对函数概念做扩展！
A是自变量，可以是标量，矢量，张量。
B是函数，也可以是标量，矢量，张量。
第十六页，共三十一页。
典型例子：
非线性弹性材料：
过去，这样求导，似乎天经地义。
本章假定：仅研究直线坐标系下张量函数的导数。换言之，基矢量不变，是常矢量。
第十七页，共三十一页。
如果：且x是标量，
则总有：
然而，如果：且v是矢量，
就没有任何意义了！因此，微分的概念要拓展。