文档介绍：、连续性与可微性,不仅是出于深刻了解这类函数本身的需要,同时又为后面研究隐函数组的存在性问题打好了基础.
一、 F (x, y) = 0 情形
二、多变量情形
三、方程组情形
因故
把看作的函数，它在上
严格增，且连续 ( 据条件 (i) )．
特别对于函数
由条
因为关于连续，故由
(b) 的结论，根据保号性，　　　　　　使得
(c) 同号两边伸
＋＋＋＋
－－－－
(c) “同号两边伸”
(d) “利用介值性”
因关于　连续, 且严
格增，故由 (c) 的结论，依据介值性定理, 存在惟
(d) 利用介值性
＋＋＋＋
－－－－
满足
一的
就证得存在惟一的隐函数:
由　的任意性, 这
若记则定理结论　得证．
下面再来证明上述隐函数的连续性:
欲证上述　　在　连续.
类似于前面 (c) ，使得
由　　　对严格增，而
推知
如图 3 所示,
＋＋＋＋
－－－－
.
.
图3 隐函数连续性示意图
小，使得
在上处处连续．
因此　　在　连续. 由　的任意性, 便证得
且当　　　　　　　时，有
类似于前面 (d) ，由于隐函数惟一，故有
最后再来证明 y = f (x) 可微性:
使用微分中值定理, 使得
设　　　　　　则
由条件易知 F 可微，并有
显然　　　也是连续函数．
因　　　　都是连续函数, 故　　　时
并有
注1 定理 1 的条件 (i) ～ (iii) 既是充分条件, 又
是一组十分重要的条件. 例如：
在点虽
不满足条件 (iv)，但仍能确定惟一的隐函数
② (双纽线), 在
点　　同样不满足
条件 (iii); 如图 4
所示, 在该点无论多
么小的邻域内, 确实
图4 双纽线图像
用这个较强的条件，一则是使用时便于检验，二
则是在后面的结论中它们还将起到实质性的作用．
注3 必须注意, 定理 1 是一个局部性的隐函数存
在定理．例如从以上双纽线图形看出: 除了(0, 0),
三点以外, 曲线上其余各点处都存在
注 2 条件 (iii) 在证明中的作用只是用来保证在邻
域内　关于　为严格单调．之所以采
不能确定惟一的隐函数.
局部隐函数 .
注4 在方程　　　　中,
与的地位是平等
的. 当条件 (iii) 改为 (其它条件不变)
时，将存在局部的连续隐函数
例1 试讨论双纽线方程
所能确定的隐函数
图4 双纽线图像
解令它有连续的
求解　　　　　　　　　　　　　　分别得到
所以，除　　　　　这
三点外，曲线上在其他
图4 双纽线图像
在其他所有点处都存在局部的可微隐函数
所有点处都存在局部的可微隐函数
同理，除　　　　　这五点外，曲线上
二、多变量情形
定理2 设函数 F (x1, x2,…, xn ; y) 满足以下条件
(ii) ( 初始条件 )；
则有如下结论成立：
(i) 在区域
(iii)
(i)
上具有对一切变量的连续偏导数.
F (x1, x2,…, xn ; y) = 0
惟一确定一个函数
且
(ii) y = f (x1, x2,…, xn ) 在 Δ内连续；
y = f (x1, x2,…, xn )
(iii) y = f (x1, x2,…, xn ) 在 Δ内对各变量有连续偏
导数，且
设有一组方程