文档介绍：《数学分析》(2)
B5021
第16意
隐函数存在定理
函数相关
《数学分析》(2)
350a
§
P221
★一、F(x,y=0情形
★二、多变量情形
★三、方程组情形
2014年5月8日星期四
华北科抆学院基础部
2
《数学分析》(2)§
350a
前面关于隐函数(组)的微分法都假定:隐函数
存在,且它们的导数或偏导数也存在
本章讨论隐函数存在性问题及连续性、可微性。
一、F(X,y=0情形
1、隐妈数撬合
显函数:因变量可由自变量的某一分析式来表示
:
y=1+sinx,z=√x2+y2
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隐函数:自变量与因变量之间的关系是由某一个
方程式所确定的函数,:
2/3
2/3
+ y
x3+y3+x3-3xy=0
注1隐函数一般不易化为显函数,也不一定需要
=f(x),这
与它能否用显函数表示无关
注2不是任一方程F(x,y)=0都能确定隐函数,
例如x2+y2+1=0显然不能确定任何隐函数
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注3一个方程能否确定隐函数还应与所讨论的点
及其某邻域有关
例如方程(xy)=x2+y2-1=0
它在()点及其某个邻域内唯一地确定了一个
函数:y
(上半圆)
它在(,-1)点及其某个邻域内唯一地确定了一个
函数:y=-1-x2;(下半圆)
但在-1,0)和(1,0)这两点的任仁
邻域内却不具有这种燻
(0,-1)
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:由方程
F(x,y,z)=0确定的隐函数x=∫(x,y),由方程
F(x,y,z,u)=0确定的隐函数l=∫(x,y,x),等
等.
2、隐晶存在悱条件台析
要讨论的问题是:当函数F(x,y)满足怎样一些
条件时,由F(x,y)=0能确定隐函数y=f(x)并使
该隐函数具有连续、可微等良好性质?
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2、隐晶数存在条件含析
z= F(r, y)
F(x,y)=0
儿何曲面=F(x,y)与z=0的交线
唯一确定隐→曲面=F(x,y必须与=0相交
y
y=f()(1)连续
(2)可微交线(1)连续曲线存在P(x,y)使F(xy)=0
(2)存在切线
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曲面z=F(x,y)在P0点有切平面且切平面的法线不平行于
轴(即切平面不是xOy平面)
P切平面的法向量为n={F,F,一引与k=(00不共线
(F,F川≠(0、0)(即F,F不能同时为零)
交线在切线意味着一元函数的可徽性,也要求
F
y川B
≠(0
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∑:z=F(xy)
T: F(,=0
yo=f(ro
合
T: y=f(r)e
(满足一定
F(, yo
条件或在某
局部
图1隐函数存在性条件分析示意图
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3、临鵠辱在定理
定理1(隐函数存在惟一性定理)设方程F(x2y)=0中
的函数F(x,y)满足以下三个条件:
(在区域D:x-xl≤a,y-yol≤b上F,F,连续;
i)F(xo,yo)=0(初始条件)
i)Fy(x,y0)≠0
则有如下结论成立:
(i)存在某邻域U(P)cD,在U(P0)内由方程
F(xy)=0惟一地确定了一个隐函数
···●非··。。。·。●。●●
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