隐函数存在定理.ppt

文档介绍：第 16 章
隐函数存在定理函数相关
《数学分析》(2)
8/22/2017
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§ 隐函数存在定理
一、 F (x, y) = 0 情形
二、多变量情形
三、方程组情形
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前面关于隐函数(组)的微分法都假定:隐函数存在,且它们的导数或偏导数也存在。
本章讨论隐函数存在性问题及连续性、可微性。
1、隐函数概念
显函数:因变量可由自变量的某一分析式来表示
:
一、 F (x, y) = 0 情形
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方程式所确定的函数,:
隐函数:自变量与因变量之间的关系是由某一个
注2 不是任一方程都能确定隐函数,
例如显然不能确定任何隐函数.
注1 隐函数一般不易化为显函数,也不一定需要
,这
与它能否用显函数表示无关.
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注3 一个方程能否确定隐函数还应与所讨论的点及其某邻域有关.
(0,1)
(0,-1)
(-1,0)
(1,0)
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注4 :
由方程
确定的隐函数
由方程
确定的隐函数
等
等.
条件时,由 F(x, y) =0 能确定隐函数 y =f (x) 并使
要讨论的问题是:当函数满足怎样一些
该隐函数具有连续、可微等良好性质?
2、隐函数存在性条件分析
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唯一确定隐
函数
(1)连续
(1)连续曲线存在
,使
(2)可微
(2)存在切线
交线
2、隐函数存在性条件分析
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曲面
在
点有切平面且切平面的法线不平行于
轴(即切平面不是
平面)
切平面的法向量为
与
不共线
(即
不能同时为零)
交线存在切线,意味着一元函数的可微性,也要求
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x
z
y
O
Σ: z = F (x,y)
O
Γ: F (x,y)=0
P0(x0,y0)
图1 隐函数存在性条件分析示意图
Γ: y = f (x)
F (x0, y0) =0
y0= f (x0)
F (x, f (x)) =0
( 满足一定条件或在某一局部)
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3、隐函数存在定理
定理1 (隐函数存在惟一性定理) 设方程 F(x,y)=0中
的函数满足以下三个条件:
(ii) ( 初始条件);
则有如下结论成立:
(i) 在区域
(iii)
F(x,y)=0 惟一地确定了一个隐函数
(i) 存在某邻域,在内由方程
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