文档介绍：目录
中文摘要……………………………………………………………2
英文摘要……………………………………………………………2
一、引言……………………………………………………………3
二、无穷级数的性质及常见的几种级数…………………………3
三、无穷级数求和的方法举例
(一)利用级数和的定义…………………………………………5
(二)裂项相消法………………………………………………6
(三)拆项求和法………………………………………………7
(四)利用已知函数的幂级数展开式求和……………………7
(五)逐项微分与逐项积分法…………………………………8
(六)利用傅里叶级数求和法…………………………………9
(七)利用欧拉常数法………………………………………10
(八)方程式法求和…………………………………………11
(九)利用子序列的极限……………………………………11
(十)转化为函数项级数的和………………………………12
(十一)利用概率求一类函数…………………………………12
四、总结………………………………………………………16
五、参考文献…………………………………………………16
无穷级数求和的方法
伊杰文
摘要:无穷级数是高等数学的一个重要组成部分,它是表示函数、研究数的性质以及进行数值计算的一种工具。因此在生产与自然科学中大量地存在。无穷级数的求和方法。在通常的论著和教材中一般都讲得很少,而且介绍分散,本文集中介绍了几种求级数的方法。
关键词:无穷级数;求和;极限
中图分类号:
The summation methods of infinite series
Yi Jie-wen
Abstract: Infinite series of higher mathematics is an ponent of that function it is to study the nature of a few, as well as a tool for numerical calculation. Therefore, in production and the existence of large numbers of natural sciences. Summation of infinite series. In the usual textbooks on the forward and speak generally small and scattered, introduced in this paper focuses on the series for a number of ways.
Keywords: infinite series;summation;limits
一、引言
无穷级数是研究有次序的可数无穷个数或者函数的和的收敛性及和的数值的方法,理论以数项级数为基础,数项级数有发散性和收敛性的区别。只有无穷级数收敛时有一个和;发散的无穷级数没有和。算术的加法可以对有限个数求和,但无法对无限个数求和,有些数列可以用无穷级数方法求和。包括数项级数、函数项级数(又包括幂级数、Fourier级数;复变函数中的泰勒级数它是表示函数、研究数的性质以及进行数值计算的一种工具。因此在生产与自然科学中大量地存在。无穷级数的求和方法。在通常的论著和教材中一般都讲得很少,而且介绍分散,本文集中介绍了几种求级数的方法。
二、无穷级数的性质及常见的几种级数
(一)、数项级数的性质
(1)、若有一个无穷级数:s= 如果每一项乘以一个常数a,则和等于as。 as =
(2)、收敛级数可以逐项相加或相减,如有两个无穷级数:
s=和 t = 则 s+t= +
(3)、级数前面加上有限项或减去有限项不影响其收敛性,如:s=和 s =这两个级数的收敛性是一样的。
(二)、常见的几种级数
(1)、幂级数
如下形式的函数项级数
称为(x--)的幂级数,其中(n=0,1,2,…)为常数。
当=0时,称为x的幂级数。
(2)、泰勒展开式(幂级数展开法)
f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+...
(3)、实用幂级数:
e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+...
ln(1+x)= x-x^2/3+x^3/3-...(-1)^(k-1)*x^k/k+... (|x|<1)
sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+... (-∞<x<∞)