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“反例法在高等数学教学中的应用
齐莲敏
襄樊广播电视大学,湖北襄樊
内容提要本文通过对高等数学中典型问题的反例研究,说明在高数教学中应用“反例法”能有效提高教
学质量,能提高学生分析问题和解决问题的能力。
关键词】反例;分析;实函;代数
中图分类号文献标识码文章编号..
自年,中央电大创办开放教育试点以来,理工科件,而不是充分条件。
本科层次均开设有高等数学这门课程。近年来,
源质量有明显变化,教学对象以“在职人”居多,这使得如若两个级数∑和∑都收敛,,
何提高开放教育的教学质量成为很值得研究的问题。并且有。这是个正确命题
笔者在十年的开放教育高数教学实践中认识到,要提高若两个级数∑和∑。都发散,则也发散。
高数教学质量必须遵循以下几个原则,即:以问题为中心原这是个错误命题

则、化抽象为具体原则、化隐为显原则、渗透性原则等等。反例:设∑∑一,∑∑一,显然二者都发
其中化抽象为具体原则又涵盖多个方面,而反例教学又是把, ,
抽象的理论具体化的一种非常有效的手段。正如美国数学家散;但它们的和∑∑是收敛级数。
..盖尔鲍姆所说:“数学由两大类——证明和反例组成,
学员在学习的过程中,常常误以为由收敛级数的线性性
而数学也是朝着这两个目标——提出证明和构造反例而发
质可以推出两个发散级数的“线性性质”。通过此例,可以
展”,本文就从分析、实函、高代三个方面入手,探讨反例
让学员很快明白两个发散级数的和可能是个收敛级数,这就
教学法在高等数学教学中的应用。文中的正确命题显然成
提高了课堂教学效率。
立,不再证明
二、反例法在实变函数中的应用
一
、反例法在数学分析中的应用
实变函数是一门综合了代数、几何等知识于一体,高度
.可导与连续的关系
抽象的课程。采用反例法教学,可以使学生更深刻地理解概
对数分的初学者来说,要分清可导与连续这两个概念需
念与定理的含义,提高教学质量。
要一段时间。但采用反例法教学可以简明有力地否定学员脑
.连续基数的概念
海中错误的认识。
通常情况下,学员在学习实变函数之前,总会从直觉上
可导必然连续。这是个正确命题
感到:较长的线段比较短的线段含有更多的点。这种错误的
连续必然可导。这是个错误命题
直觉会使学员在实变函数的后续学习中绕很多弯路。但下面
反例:在处连续,但不可导。因为在该点的
这个反例却可以使初学实函的人很快明确:一个较长的线短
左导数为.,右导数为,左右导数不等,所以不可导。
并不比另一个较短的线段含有更多的点,而是含有同样多的
由此例可以让学员明白可导必然连续,而连续不一定可
点。
导。
一个较长的线段比另一个较短的线段含有更多的点。
.导数与切线的关系
这是个错误命题
导数的几何意义是切线的斜率,学员经常误把导数等同
反例:与表示两个同心圆,其中圆心
于切线,通过反例教学可以有效避免学员范这种错误。
在坐标原点,半径分别为和。前者的周长为Ⅱ,后者
在处的导数存在,则曲线过该点的
的周长为,表面看