文档介绍：抽象函数经典综合题
抽象函数,是指没有具体地给出解析式,只给出它的一些特征或性质的函数,抽象函数型综合问题,一般通过对函数性质的代数表述,综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力,考查对于函数性质的代数推理和论证能力,考查学生对于一般和特殊关系的认识,是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点,又是近几年来高考的热点。
本资料精选抽象函数经典综合问题(含详细解答)
=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a、b∈R,有f(a+b)=f(a)f(b),
求证:f(0)=1;
求证:对任意的x∈R,恒有f(x)>0;
(3)证明:f(x)是R上的增函数;
(4)若f(x)·f(2x-x2)>1,求x的取值范围。
解(1)令a=b=0,则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1
(2)令a=x,b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) ∴
由已知x>0时,f(x)>1>0,当x<0时,-x>0,f(-x)>0
∴又x=0时,f(0)=1>0
∴对任意x∈R,f(x)>0
(3)任取x2>x1,则f(x2)>0,f(x1)>0,x2-x1>0
∴
∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在R上是增函数
(4)f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0),
f(x)在R上递增
∴由f(3x-x2)>f(0)得:3x-x2>0 ∴ 0<x<3
,在R上有定义,对任意的有且
(1)求证:为奇函数
(2)若, 求的值
解(1)对,令x=u-v则有f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-[f(u)g(v)-
g(u)f(v)]=-f(x)
(2)f(2)=f{1-(-1)}=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1){g(-1)+g(1)}
∵f(2)=f(1)≠0
∴g(-1)+g(1)=1
>0,
(1)判断的奇偶性;
(2)求在区间[-3,3]上的最大值;
(3)解关于的不等式
解(1)取则
取
对任意恒成立∴为奇函数.
(2)任取, 则
又为奇函数
∴在(-∞,+∞)上是减函数.
对任意,恒有
而
∴在[-3,3]上的最大值为6
(3)∵为奇函数,∴整理原式得
进一步可得
而在(-∞,+∞)上是减函数,
当时,
当时,
当时,
当时,
当a>2时,
,满足:对任意都有
;
(1)试证明:为N上的单调增函数;
(2),且,求证:;
证明:(1)由①知,对任意,都有,
由于,从而,所以函数为上的单调增函数.
(2)由(1)可知都有f(n+1)>f(n),则有f(n+1)f(n)+1
f(n+1)-f(n), f(n)-f(n-1)
f(2)-f(1)
f(1)-f(0)由此可得f(n)-f(0)n f(n)n+1命题得证
,且同时满足:
(1)对任意,总有;
(2)
(3)若且,则有.
(I)求的值;
(II)求的最大值;
求证:.
解:(I)令,由(3),则
由对任意,总有
(II)任意且,则
6. 对于定义域为的函数,如果同时满足以下三条:①对任意的,总有;②;③若,都有成立,则称函数为理想函数.
(1) 若函数为理想函数,求的值;
(2)判断函数是否为理想函数,并予以证明;
(3) 若函数为理想函数,假定,使得,且,求证.
解:(1)取可得.
又由条件①,故.
(2)显然在[0,1]满足条件①;-
也满足条件②.
若,,,则
,即满足条件③,
故理想函数.
(3)由条件③知,任给、[0,1],当时,由知[0,1],
若,则,前后矛盾;
若,则,前后矛盾.
故
7. 设函数f(x)定义在R上,对于任意实数m、n,恒有,且当x>0时,0<f(x)<1。
(1)求证:f(0)=1,且当x<0时,f(x)>1;
(2)求证:f(x)在R上单调递减;
(3)设集合,
,若,求a的取值范围。
解:(1)令m=1,n=0,得f(1)= f(1)·f(0)
又当x>0时,0< f(x)<1,所以f(0)=1
设x<0,则-x>0
令m=x,n=-x,则f(0)= f(x)·f(-x)
所以f(x)·f(-x)=1
又0< f(-x)<1,所以
(2)设,且,则
所以
从而
又由已知条件及(1)的结论知f(x)>0恒成立
所以
所以