文档介绍：第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷
(非数学类)
解答下列各题(每小题6分共24分,要求写出重要步骤)
.
解因为………(2分);
原式
…………………………………………………………………………………………(2分);………(2分)
解记,只要证明发散即可。…………………………(2分)
因为。……………(2分)
而发散,故由比较判别法发散。……………………………………(2分)
,求的极值。
解方程两边对求导,得…………………(1分)
故,令,得或………(2分)
将代入所给方程得,
将代入所给方程得,………………………………………(2分)
又
,
故为极大值,为极小值。………………………………(3分)
,使该切线与曲线及轴所围成的平面图形的面积为,求点A的坐标。
解设切点A的坐标为,曲线过A点的切线方程为
………………………………………………………………………………………(2分);
令,由切线方程得切线与轴交点的横坐标为。
从而作图可知,所求平面图形的面积
,
故A点的坐标为。…………………………………………………………(4分)
二、(满分12)计算定积分
解
…………………………………(4分)
……………………(2分)
…………………………………………………………………(4分)
…………………………………………………………(2分)
三、(满分12分)设在处存在二阶导数,且。证明:级数收敛。
解由于在处可导必连续,由得
………………………………………………(2分)
…………………………………………(2分)
由洛必塔法则及定义
………………………(3分)
所以…………………………………(2分)
由于级数收敛,从而由比较判别法的极限形式收敛。……(3分)
四、(满分12分)设,证明
解因为,所以在上严格单调增,从而有反函数
………………………………………………………………………………………(2分)。
设是的反函数,则………(3分)
又,则,所以…(3分)
……………………(2分)
五、(满分14分)设是一个光滑封闭曲面,方向朝外。给定第二型的曲面积分。试确定曲面,使积分I的值最小,并求该最小值。
解记围成的立体为V,由高斯公式
………………(3分)
为了使得I的值最小,就要求V是使得的最大空间区域,即
取,曲面………(3分)