文档介绍：第五章
中值定理
应用
研究函数性质及曲线性态
利用导数解决实际问题
罗尔中值定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
泰勒公式
(第三节)
推广
微分中值定理
与导数的应用
一、罗尔( Rolle )定理
第一节
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二、拉格朗日中值定理
三、柯西(Cauchy)中值定理
中值定理
第五章
费马(fermat)引理
一、罗尔( Rolle )定理
且
存在
证: 设
则
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证毕
罗尔( Rolle )定理
满足:
(1) 在区间[a , b] 上连续
(2) 在区间(a , b) 内可导
(3) f ( a ) = f ( b )
使
证:
故在[ a , b ]上取得最大值
M 和最小值 m .
若 M = m , 则
因此
在( a , b ) 内至少存在一点
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若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
不妨设
则至少存在一点
使
注意:
1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立.
例如,
则由费马引理得
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使
2) 定理条件只是充分的.
本定理可推广为
在( a , b ) 内可导, 且
在( a , b ) 内至少存在一点
证明提示: 设
证 F(x) 在[a , b] 上满足罗尔定理.
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例1. 证明方程
有且仅有一个小于1 的
正实根.
证: 1) 存在性.
则
在[0 , 1 ] 连续,
且
由介值定理知存在
使
即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性.
假设另有
为端点的区间满足罗尔定理条件,
至少存在一点
但
矛盾,
故假设不真!
设
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二、拉格朗日中值定理
(1) 在区间[ a , b ] 上连续
满足:
(2) 在区间( a , b ) 内可导
至少存在一点
使
思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数
作辅助函数
显然,
在[ a , b ] 上连续,
在( a , b ) 内可导,
且
证:
问题转化为证
由罗尔定理知至少存在一点
即定理结论成立.
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证毕
拉格朗日中值定理的有限增量形式:
推论:
若函数
在区间 I 上满足
则
在 I 上必为常数.
证: 在 I 上任取两点
日中值公式, 得
由的任意性知,
在 I 上为常数.
令
则
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例2. 证明等式
证: 设
由推论可知
(常数)
令 x = 0 , 得
又
故所证等式在定义域上成立.
自证:
经验:
欲证
时
只需证在 I 上
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