文档介绍：课题:含有绝对值的不等式(2)
教学目的:
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2培养学生的化归(或转化)的数学思想
3提高分析问题和解决问题以及综合运用数学知识的能力
4培养创新意识,提高学生的数学素质
教学重点:不等式性质、定理的综合运用
教学难点:常见证明技巧
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
上一节课,我们学习了含绝对值的不等式的一个重要性质,并认识到证明不等式的方法的多样性与灵活性,这一节,我们将综合运用绝对值的性质、不等式的性质、算术平均数与几何平均数的定理证明不等式
定理:
注意:1° 左边可以“加强”同样成立,即
2° 这个不等式俗称“三角不等式”—三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边
3° a,b同号时右边取“=”,a,b异号时左边取“=”
推论1:≤
推论2:
二、讲解范例:
例1 已知a、b、c、d都是实数,且a2+b2=r2,c2+d2=R2,(r>0,R>0)
求证:|ac+bd|≤
证明:(综合法)∵a、b、c、d都是实数,
∴|ac+bd|≤|ac|+|bd|≤
∵a2+b2=r2,c2+d2=R2,
∴|ac+bd|≤
例2 设f (x) = x2+px+q, 求证:| f (1) |、| f (2) |、| f (3) | 中至少有一个不小于
说明:此题正面证明较为困难,“正难则反”,引导学生尝试“反证法”证明
证明:(反证法)假设原命题不成立,则|f(1)|<,|f(2)|<,|f(3)|<,
∴|f(1)|+2 |f(2)|+|f(3)|<2 ①
由f(1)=1+p+q, f(2)=4+2p+q, f(3)=9+3p+q 得
f(1)+f(3)-2f(2)=2
∴|f(1)|+2 |f(2)|+|f(3)|≥|f(1)+f(3)-2f(2)|=2
这与①矛盾,故假设不成立,求证为真
例3 求证:
证法一:(分析法)要证明
只需证(|a|+|b|)(1+|a+b|)≥|a+b| (1+|a|+|b|)
只需证|a|+|b|+(|a|+|b|)·|a+b|≥|a+b|+(|a|+|b|)|a+b|
只需证|a|+|b|≥|a+b|
显然上式成立
所以原不等式成立
证法二:(利用函数的单调性)
构造函数f(x)= (x≥0)
∵f(x)= =1-
∴函数f(x)在[0,+∞是增函数
∵f(|a|+|b|)=, f(|a+b|)=
而|a|+|b|≥|a+b|,∴f(|a|+|b|)≥f(|a+b|)
即≥
例4 已知,求证:
说明:根据已知条件x2+y2=1的形式特点,可以进行三角代换,即设,转化为三角形式的不等式
解:设, 则
(其中tanθ=a)
∵|sin(-θ)|≤1
∴
∴
即
三、课堂练习:
|x-a|<m,|y-a|<n,则下列不等式一定成立的是( D )
A|x-y|<2m B|x-y|<2n C|x-y|<n-m D|x-y|<n+m
(x)=-2x+1,对任意的正数ε,使得|f(x1)-f(x2)|<ε成立的一个充分非必要条件是( C )
A|x1-x2|<ε B|x1-x2|<