文档介绍：第十七讲* 集合与简易逻辑
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我们考察某些事物的时候,常常要考虑由这些事物组成的群体,,,B,C…等表示集合,小写字母a,b,c,…,就说m属于A,记作m∈
(i)你的家庭中所有成员组成一个集合,你和你的家庭中的其他各个成员都是这个集合中的元素.
(ii)自然数全体1,2,3,…组成一个集合(通常把它叫作自然数集).
(iii)如果A,B是平面上两个不同的点,那么A,B两点所确定的直线上的点组成一个集合,这条直线上每个点都是这个集合的元素.
总之,集合是数学中一个最基本、最常用的概念,下面进一步给同学们介绍一些关于集合的基本知识.
(1)列举法
当一个集合所含元素个数较少时,一个最简单的描述方法就是把它所含的每个元素都列举出来,,通常是将这个集合的每个元素一一填写在{}中,,:
(i)由a,b,c,d,e五个小写字母组成的集合A,记作
A={a,b,c,d,e},
也可记作
A={b,a,c,d,e).
(ii)由小于40的质数组成的集合B,记作
B={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37}.
(iii)平方等于1的有理数集合C,记作
C={1,-1}.
(iv)三条直线l1,l2,l3组成的集合D,记作
D={l1,l2,l3}.
(2)特征性质描述法
当一个集合所含元素较多时,用列举法描述很麻烦,这就要用到特征性质描述法.
所谓特征性质是指集合中元素的特征性质,即:(i)这个集合中每个元素都具有这些性质;(ii)具有这些性质的事物都是这个集合的元素.
例如,集合={1,-1}用特征性质描述法表示就是
A={x│x2=1},
或者
A={x││x│=1}.
全体偶数组成的集合B,用特征性质描述法表示就是
B={x│x是能被2整除的整数},
或者
B={2n│n是整数}.
全体奇数组成的集合C,用特征性质描述法表示就是
C={x│x是不能被2整除的整数},
或者
C={2n+1│n是整数},
C={2n-1│n是整数}.
一般地,用特征性质α表示集合A的形式是:
A={x│x具有性质α}.
(1)包含与子集
(i)你班上的同学的集合和你学校的同学的集合之间的关系是:前者是后者的子集,后者包含前者.
(ii)设集合
例1 设A={1,2,3,4},试写出A的所有子集.
{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3},{1,2,4},{2,3,4},{1,3,4},{1,2,3,4}.
(2)交集运算
对于给定的集合A,B,∩B表示A,B的交集(图2-88).例如
(i)如图2-89,设
A={x│x是12的正因数},
B={x│5<x<13,x是整数},
则
A={1,2,3,4,6,12},B={6,7,8,9,10,11,12}.
所以 A∩B={6,12}.
(ii)设l1,l2是平面上两条不同的直线,则l1∩l2就是由它们的交点组成的集合.
如果l1与l2相交于一点P,则l1∩l2={P}(图2-90);
(3)并集运算
对于给定的两个集合A,B,把它们所含的元素合并起来所构成的集合,叫作集合A,B的并集,我们用符号A∪B表示A,B的并集(图2-92).例如
(i)设M,N分别表示你班上男生、女生的集合,那么M∪N就是你班上同学的集合.
(ii)设
A={1,3,5,7,9},B={2,3,4,5,6},
则 A∪B={1,2,3,4,5,6,7,9}.
注意在求上述集合A,B的并集时,虽然在A,B中都有3和5,但在A∪B中,3,5只取一次.
(iii)设E={x│x是实数,且x≥4},
F={x│x是实数,且x≤-4},G={x│x2≥16}.
则 E∪F=G.
一般地说,如果α,β分别是集合A,B的特征性质,即
A={x│x具有性质α} ,B={x│x具有性质β},则A∪B就是那些具有性质α或性质β的元素组成的集合,也就是
A∪B={x│x具有性质α或β},
或者
A∪B={x│x∈A或x∈B}.
例2 设
A={x│x是12的正因数},B={x│x是18的正因数},
C={x│0≤x≤