文档介绍：第十八讲归纳与发现
归纳的方法是认识事物内在联系和规律性的一种重要思考方法,,也就是在求解数学问题时,首先从简单的特殊情况的观察入手,取得一些局部的经验结果,然后以这些经验作基础,分析概括这些经验的共同特征,,以见一般.
例1 如图2-99,有一个六边形点阵,它的中心是一个点,算作第一层;第二层每边有两个点(相邻两边公用一个点);第三层每边有三个点,…这个六边形点阵共有n层,试问第n层有多少个点?这个点阵共有多少个点?
分析与解我们来观察点阵中各层点数的规律,然后归纳出点阵共有的点数.
第一层有点数:1;
第二层有点数:1×6;
第三层有点数:2×6;
第四层有点数:3×6;
……
第n层有点数:(n-1)×6.
因此,这个点阵的第n层有点(n-1)×
例2 在平面上有过同一点P,并且半径相等的n个圆,其中任何两个圆都有两个交点,任何三个圆除P点外无其他公共点,那么试问:
(1)这n个圆把平面划分成多少个平面区域?
(2)这n个圆共有多少个交点?
分析与解(1)在图2-100中,设以P点为公共点的圆有1,2,3,4,5个(取这n个特定的圆),观察平面被它们所分割成的平面区域有多少个?为此,.
S2-S1=2,
S3-S2=3,
S4-S3=4,
S5-S4=5,
……
由此,不难推测
Sn-Sn-1=n.
把上面(n-1)个等式左、右两边分别相加,就得到
Sn-S1=2+3+4+…+n,
因为S1=2,所以
下面对Sn-Sn-1=n,即Sn=Sn-1+n的正确性略作说明.
因为Sn-1为n-1个圆把平面划分的区域数,当再加上一个圆,即当n个圆过定点P时,这个加上去的圆必与前n-1个圆相交,所以这个圆就被前n-1个圆分成n部分,加在Sn-1上,所以有Sn=Sn-1+n.
(2)与(1)一样,同样用观察、归纳、,.
a1=1,
a2-a1=1,
a3-a2=2,
a4-a3=3,
a5-a4=4,
……
an-1-an-2=n-2,
an-an-1=n-1.
n个式子相加
注意请读者说明an=an-1+(n-1)的正确性.
例3 设a,b,c表示三角形三边的长,它们都是自然数,其中a≤b≤c,如果 b=n(n是自然数),试问这样的三角形有多少个?
分析与解我们先来研究一些特殊情况:
(1)设b=n=1,这时b=1,因为a≤b≤c,所以a=1,c可取1,2,3,….若c=1,则得到一个三边都为1的等边三角形;若c≥2,由于a+b=2,那么a+b不大于第三边c,这时不可能由a,b,c构成三角形,可见,当b=n=1时,满足条件的三角形只有一个.
(2)设b=n=2,.
这时满足条件的三角形总数为:1+2=3.
(3)设b=n=3,.
这时满足条件的三角形总数为:1+2+3=6.
通过上面这些特例不难发现,