文档介绍：第十九讲特殊化与一般化
特殊化的方法就是在求解一般数学命题的解答时,,先求解特例,然后应用特殊的方法或结论再来求解一般问题.
另外,特殊化、一般化和类比联想结合起来,更可以由此及彼地发现新命题、开拓新天地.
、一般化和类比推广
命题1 在△ABC中,∠C=90°,CD是斜边上的高(图2-102),则有CD2=AD·BD.
这是大家所熟知的直角三角形射影定理.
类比命题1,如果CD是斜边上的中线,将怎样?由此得到命题2.
命题2 在△ABC中,∠C=90°, CD是斜边上的中线(图2-103),则有CD=AD=BD.
这便是大家已经学过的直角三角形中的斜边中点定理(在此定理中仍保持CD2=AD·BD).
再类比,如果CD是∠C的平分线,将怎样?于是得到命题3.
命题3 在△ABC中,∠C=90°,CD是∠C的平分线(图2-104),则有
这是一个新命题,证明如下.
引DE⊥BC于E,DF⊥AC于F.
因为
所以
我们把命题1、命题2、命题3一般化,考虑D点是AB上任一点,便产生了以下两个命题.
命题4 在△ABC中,∠C=90°,D是斜边AB上的任一内分点(图2-105),则有
证引DF⊥AC于F,DE⊥
CD2-BD2=CE2-BE2=(CE-BE)BC,
而
所以
所以
即
命题5 在△ABC中,∠C=90°,D是斜边AB上的任一外分点(图2—106),则有
证只要令命题4之结论中AD为-AD,则有
我们再把命题4和命题5特殊化,令D点与A点重合(即│AD│=0),那么无论是①式或②式都有
AB2=BC2+AC2.
这就是我们熟知的勾股定理.
命题4或命题5与通常形式下的广勾股定理是等效的,因此,.
定理在△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,a在c上的射影为n,
时,取“-”号,∠B为钝角时,取“+”号).
证我们仅利用命题4证图2-107中的情况(∠B<90°).
为此,我们作图2-109,其中∠DBA=90°,CD=x,CE⊥DB于E,并设CE=,立得
得
所以
b2=a2+c2-2cn.
同理可证图2-108(∠B>90°)的相应结论.
、一般化在解题中的应用
例1 设x,y,z,w为四个互不相等的实数,并且
求证:x2y2z2w2=1
分析与解我们先考虑一个特例,只取两个不同实数,简化原来命
(1),因为
又因为
到原命题,由
容易想到变形
去分母变形为
①×②×③×④,并约去(x-y)(y-z)(z-w)(w-x)(利用x,y,z,w互不相等)就得到
x2y2z2w2=1.
例2 设凸四边形O1O2O3O4的周长为l,以顶点O1,O2,O3,,求s的长度(图2-110).
解(1)先解一个特例(图2-111).设只有两个圆轮⊙O