文档介绍：,,,如果中学数学里没有实数的概念及其简单的运算知识,,即使是一元二次方程,,适当学习一些有关实数的基础知识,以及运用这些知识解决有关问题的基本方法,不仅是为高等数学的学习打基础,. 用于解决许多问题,例如,不难证明:任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数,或者说,有理数对加、减、乘、除(零不能做除数)是封闭的. 性质1任何一个有理数都能写成有限小数(整数可以看作小数点后面为零的小数)或循环小数的形式,反之亦然. 例1 分析要说明一个数是有理数,其关键要看它能否写成两个整数比的形式. 证设两边同乘以100得②-①得 99x=-=, ,而无理是说,无理数对四则运算是不封闭的,但它有如下性质. 性质2设a为有理数,b为无理数,则(1)a+b,a-b是无理数; 有理数和无理数统称为实数,即在实数集内,没有最小的实数,,、减、乘、除(除数不为零)运算,其结果仍是实数(即实数对四则运算的封闭性).任一实数都可以开奇次方,其结果仍是实数;只有当被开方数为非负数时,才能开偶次方,其结果仍是实数. 例2 ,且二者是矛盾的两个对立面,所以,判定一个实数是无理数时,常常采用反证法. 证用反证法. =2m(m是自然数),代入①得 4m2=2q2,q2=2m2, 例4若a1+b1a=a2+b2a(其中a1,a2,b1,b2为有理数,a为无理数),则a1=a2,b1=b2,反之,亦成立. 分析设法将等式变形,利用有理数不能等于无理数来证明. 证将原式变形为(b1-b2)a=a2-≠b2,则反之,显然成立. 说明本例的结论是一个常用的重要运算性质. 是无理数,并说明理由. 整理得由例4知 a=Ab,1=A, 说明本例并未给出确定结论,需要解题者自己发现正确的结有理数作为立足点,以其作为推理的基础. 例6已知a,b是两个任意有理数,且a<b,求证:a与b之间存在着无穷多个有理数(即有理数集具有稠密性). 分析只要构造出符合条件的有理数,题目即可被证明. 证因为a<b,所以2a<a+b<2b,所以说明构造具有某种性质的一个数,或一个式子,以达到解题和证明的目的,是经常运用的一种数学建模的思想方法. 例7已知a,b是两个任意有理数,且a<b,问是否存在无理数α,使得a<α<b成立? 即由①,②有存在无理数α,使得a<α<b成立. b4+12b3+37b2+6b-20 的值. 分析因为无理数是无限不循环小数,所以不可能把一个无理数的小数部分一位一位确定下来,这样涉及无理数小数部分的计算题,往往是先估计它的整数部分(这是容易确定的),然后再寻求其小数部分的表示方法. 14=9+6