全国初中数学竞赛辅导（初2）第20讲 类比与联想.doc

文档介绍：第二十讲类比与联想
类比就是根据两种事物一部分类似的性质,,由分数的性质类似地推测分式的性质;由直线与圆的位置关系推测圆与圆的位置关系;由一次函数、一次方程、一次不等式的某些性质和解法,推测二次函数、二次方程、二次不等式的某些类似的性质与解法等.
,常常想起与它类似的问题、类似的解法,从而有利于新问题的解决.
利用类比与联想,常常可以发现新命题和扩展解题思路.

例1 已知:△ABC中,∠C= 90°,AC=BC=1,BD是AC边上的中线,E点在AB边上,且ED⊥△DEA的面积(图2-113).
解引CF⊥BA于F,由于BC= AC,△ABC的重心,所以
因为∠C=∠BDE=90°,所以
∠ADE=∠CBH.
又由∠A=∠BCH=45°,可知△ADE∽△

类比如果保留例1中等腰三角形诸条件,去掉直角这一特殊性,那么是否会产生类似的命题呢?由此想到例2.
例2 如图2-△ABC中,∠C=4∠B=4∠A,BD是AC边上的中线,E点在AB上,且∠AED=∠C,S△ABC=1,求S△AED.
解类似例1的解法,引CF⊥AB于F,交BD于H,显然△ADE不相似于△
∠C=4∠B=4∠A,
则
∠A=∠B=30°,∠C=120°.
由于CF平分∠C,所以
∠ACF=60°.
又因为∠AED=∠ACB,∠A=∠A,所以
△ADE∽△ABC,
所以
由于△AFC中∠AFC=90°,∠A=30°,所以若设CF=x,则


类比如果保留例1中的直角等条件,去掉等腰三角形这一特殊性,可以类似地得到例3.
例3 已知△ABC中∠C= 90°,AC=2BC=2,BD是AC边上的中线,CF⊥AB于F,交BD于H(图2-115).求S△CBH.
解本题直接求S△CBH有些困难,联想例1、例2中的△ADE,不妨引辅助线DE⊥BD交AB于E.
由于AC=2BC=2,D是AC的中点,且∠C=∠BDE=90°,所以
∠CBH=∠ADE=45°.
因为CF⊥AB于F,所以∠BCH=∠=AD=1,所以
△CBH≌△ADE,
所以 S△CBH=S△ADE.
因此只要求出S△ADE即可,为此,设DE=x,则


(2)例3由例1类比而来,最自然的想法是求S△ADE,为增加难度与变换方式获得新命题,故例3反求S△CBH.
我们知道一个三角形的三边如果是a,b,c,那么就有
│b-c│<a<b+c,①
即三角形任意一边小于其余两边之和,大于其余两边之差.
我们对①类比:是否有
存在呢?如果②存在,那么就发现了如下命题(例4).

例5 a,b为两个不相等且都不为零的数,同时有
a2+pa+q=0,b2+pb+q=0,

分析与解由已知条件,联想到方程根的定义,a,b是方程x2+px+q=0的两个根,由a,b不为零,有

例6 如果(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求证:
x+z=