文档介绍：第二十一讲分类与讨论
分类在数学中是常见的,让我们先从一个简单的例子开始.
有四张卡片,它们上面各写有一个数字:1,9,9,,这样的数中有多少个是质数?
因为按要求所得的数可能是一位数、二位数、三位数和四位数,我们分别给予讨论.
任取一张卡片,只能得3个数:1,8,9,其中没有质数;任取二张卡片,可得7个数:18,19,81,89,91,98,99,其中19,89两个是质数;任取三张卡片,可得12个数:189,198,819,891,918,981,199,919,991,899,989,998,其中199,919,991三个数是质数;取四张,所得的任一个四位数的数字和是27,因而是3的倍数,,质数共有2+3=5个.
,经常把所要讨论的对象分成若干类,然后逐类讨论,得出结论.
,首先确定分类对象,,即分哪几类,这里要特别注意,每次分类要按照同一标准,并做到不重复、不遗漏,有些复杂的问题,,得出结论.
例1 求方程
x2-│2x-1│-4=0
的实根.
x2+2x-1-4=0,
x2-2x+1-4=0,
x1=3,x2=-1.
说明在去绝对值时,常常要分类讨论.
例2 解方程x2-[x]=2,其中[x]是不超过x的最大整数.
解由[x]的定义,可得
x≥[x]=x2-2,
所以 x2-x-2≤0,
解此不等式得
-1≤x≤2.
现把x的取值范围分成4个小区间(分类)来进行求解.
(1)当-1≤x≤0时,原方程为
x2-(-1)=2,
所以x=-1(因x=1不满足-1≤x<0).
(2)当0≤x<1时,原方程为
x2=2.
(3)当1≤x<2时,原方程为
x2-1=2,
所以
(4)当x=2时,满足原方程.
例3 a是实数,解方程
x│x+1│+a=0.
分析方程中既含有绝对值,又含有参数a,若以平方化去绝对值的话,则引入了高次方程,,宜讨论x的取值范围来求解.
解(1)当x<-1时,原方程变形为
x2+x-a=0.①
当△=1+4a≥0(且a=-x│1+x│>0),即a>0时,①的解为
(2)当x≥-1时,原方程为
x2+x+a=0.②
又x≥-1,即
综上所述,可得:当a<0时,原方程的解为
例5 已知三角形中两角之和为n,最大角比最小角大24°,求n的取值范围.
解设三角形的三个角度数分别是α,β,γ,且有α≥β≥γ. 由题设α-γ=24.
(1)若β+γ=n,则α=180°-n,
γ=α-24°=156°-n,β=n-γ=2n-156°.
所以
156°-n≤2n-156°≤180°-n,
所以 104°≤n≤112°.
(2)若α+γ=n,则β=180°-n,于是
所以