文档介绍：1.(2011年高考福建卷)设函数f(θ)=sinθ+cosθ,其中,角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点P(x,y),且0≤θ≤π.
(1)若点P的坐标为,求f(θ)的值;
(2)若点P(x,y)为平面区域Ω:上的一个动点,试确定角θ的取值范围,并求函数f(θ)的最小值和最大值.
解:
(1)由点P的坐标和三角函数的定义可得
于是f(θ)=sinθ+cosθ=×+=2.
(2)作出平面区域Ω(即三角形区域ABC)如图,其中A(1,0),B(1,1),C(0,1).
于是0≤θ≤.
又f(θ)=sinθ+cosθ=2sin(θ+),
且≤θ+≤,
故当θ+=,即θ=时,
f(θ)取得最大值,且最大值等于2;
当θ+=,即θ=0时,
f(θ)取得最小值,且最小值等于1.
(x)=kx+b,-1≤x≤1,k,b∈R,-2,-1,0,1,2五个数中任取的1个数,b是从0,1,2三个数中任取的1个数,求函数y=f(x)是奇函数的概率.
解:函数f(x)为奇函数的条件是b=0,基本事件共有5×3=15个,设事件A:“函数y=f(x)是奇函数”,则事件A包含的基本事件是(-2,0),(-1,0),(0,0),(1,0),(2,0).
所以P(A)==.
3.
如图所示,已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,1上的动点,F是线段AB的中点,AC=BC=2,AA1=4.
(1)求证:CF⊥平面ABB1;
(2)1的中点时,求证:CF∥平面AEB1;
(3)1上是否存在点E,使得二面角A-EB1-B的大小是45°?若存在,求CE的长;若不存在,说明理由.
解:(1)证明:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱B1B⊥底面ABC,
∵CF⊂平面ABC,∴B1B⊥CF.
∵AC=BC,F是线段AB的中点,
∴CF⊥AB.
∵AB,B1B是平面ABB1内两相交直线,
∴CF⊥平面ABB1.
(2)证明:如图所示,取AB1的中点D,连接ED,DF.
∵DF是△ABB1的中位线,
∴DF綊B1B.
∵1的中点,
∴EC綊B1B.∴DF綊EC.
∴四边形EDFC是平行四边形.∴CF∥ED.
∵CF⊄平面AEB1,ED⊂平面AEB1,
∴CF∥平面AEB1.
(3)假设存在点E,使二面角A-EB1-B的大小为45°,由于∠ACB=90°,易证AC⊥平面BEB1,
过C点作CK⊥直线B1E于K,连接AK,
则∠AKC为二面角A-EB1-B的平面角,
∴∠AKC=45°.
∴CK=AC=2,
设CE=x,则=,x=,
故线段CE=.
综上,1上存在点E,使得二面角A-EB1-B的大小是45°,此时CE=.
4.(2011年高考四川卷)已知{an}是以a为首项,q为公比的等比数列,Sn为它的前n项和.
当S1,S3,S4成等差数列时,求q的值;
当Sm,Sn,Sl成等差数列时,求证:对任意自然数k,am+k,an+k,al+k也成等差数列.
解:由已知,得an=aqn-1,因此
S1=a,S3=a,S4=a.
当S1,S3,S4成等差数列时,S4-S3=S3-S1,
可得aq3=aq+aq2,化简得q2-q-1=0.