文档介绍：第六节空间向量及其运算
空间中具有______________的量叫做空间向量.
(1)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b⇔存在λ∈R,使a=______.
(2)共面向量定理:若两个向量a、b不共线,则向量p与向量a,b共面⇔存在唯一的有序实数对(x,y),使p=__________.
(3)空间向量基本定理:如果三个向量a、b、c不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组{x,y,z}使得p=____________.
大小和方向
λb
xa+yb
xa+yb+zc
(1)非零向量a,b的数量积a·b=|a||b|cos〈a,b〉.
(2)空间向量数量积的运算律
①结合律:(λa)·b=λ(a·b);
②交换律:a·b=b·a;
③分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.
a1b1+a2b2+a3b3
a1=λb1,a2=
λb2,a3=λb3
a1b1+a2b2+a3b3=0
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
1.(a·b)·c=a·(b·c)成立吗?
【提示】不一定成立.∵(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一个与a共线的向量,又c与a不一定共线,∴上式不一定成立.
,b是平面α内的两个不共线向量,c=xa+yb,则表示c的有向线段与平面α是什么关系?
【提示】表示向量c的有向线段与平面α平行或在平面α内.
1.(教材改编题)已知向量{a,b,c}是空间的一个基底,向量p=a+b,q=a-b,那么可以与p、q构成空间另一个基底的向量是`( )
【答案】 C
【答案】 B
=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),满足条件(c-a)·(2b)=-2,则x=________.
【解析】 c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2),
∴(c-a)·(2b)=0×2+0×4+(1-x)×2=2-2x=-2,∴x=2.
【答案】 2
(1,5,-2),B(2,4,1),C(a,3,b+2)在同一条直线上,则a=________,b=________.
【答案】 3 2
空间向量的线性运算
【思路点拨】(1)利用向量的数乘和加减运算化简;(2)结合图形,利用三角形(或平行四边形)法则及数乘运算法则求解.